Enunciado

Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para estimar a coordenada x dos pontos de intersecção da curva y = x 4 e y = 3 x - x 2 . Se D é a região limitada por essas curvas, estime ∬ D x d A .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é esboçar as curvas para identificar os pontos de intersecção:

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 1,213   , x 4 ≤ y ≤ 3 x - x 2  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

∬ D f x , y d A = ∫ 0 1,213 ∫ x 4 3 x - x 2 f ( x , y ) d y d x

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ 0 1,213 ∫ x 4 3 x - x 2 x d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ x 4 3 x - x 2 x d y = x y x 4 3 x - x 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ x 4 3 x - x 2 x d y = x 3 x - x 2 - x 4

∫ x 4 3 x - x 2 x d y = 3 x 2 - x 3 - x 5

Logo, substituindo, temos:

∫ 0 1,213 ∫ x 4 3 x - x 2 x d y d x = ∫ 0 1,213 3 x 2 - x 3 - x 5 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

∫ 0 1,213 3 x 2 - x 3 - x 5 d x = 3 x 3 3 - x 4 4 - x 6 6 0 1,213

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ 0 1,213 3 x 2 - x 3 - x 5 d x = 3 1,213 3 3 - 1,213 4 4 - 1,213 6 6

Resolvendo, temos:

∫ 0 1,213 3 x 2 - x 3 - x 5 d x = 0,7126

Logo:

∬ D f x , y d A = 0,7126

Resposta

∬ D f x , y d A = 0,7126

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 2∫ x 2 4 f ( x , y ) d y d x
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido no primeiro octante sob o plano z = x + y , acima da superfície z = x y e delimitada pela superfície x = 0 , y = 0 e x 2 + y 2 = 4 .
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ 0 y f ( x , y ) d x d y
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Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 2 y 4 + x y 2 e acima da região lmitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .