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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 7

Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.

a s   p a r á b o l a s   x = y 2   e   x = 2 y - y 2

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo um esboço das funções, temos:

Analisando a imagem temos que 0 ≤ y ≤ 1 e como x é dado por y, y 2 ≤ x ≤ 2 y - y 2 . Logo:

∫ 0 1 ∫ y 2 2 y - y 2 d x   d y

Passo 2

∫ 0 1 2 y - y 2 - y 2 d y

y 2 - 2 3 y 3 0 1

1 - 2 3

1 3

Resposta

1 3

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Calcule a integral ∬ D x 2t gx + y 3 + 4d A , onde D = x , yx 2 + y 2 ≤ 2 } . [Sugestão: explore o fato de que D é simétrica com relação a ambos os eixos.]
Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral. ∬ D yd A
Demonstre a propriedade 11.
Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ Q e - ( x 2 + y 2 )d A , onde Q é o quarto de círculo com centro na origem e raio 1 2 no primeiro quadrante.
Expresse D como uma união de regiões de tipo I ou do tipo II e calcule a integral. ∬ D x 2d A