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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.3 - Ex. 5

Nos Exercícios 1-12, esboce a região delimitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada e calcule a integral.

a   c u r v a   y = e x   e   a s   r e t a s   y = 0 ,   x = 0   e   x = l n ⁡ ( 2 )

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo o esboço da função temos:

Onde a região pintada e aquela a ser calculada

Analisando a imagem vemos que 0 ≤ x ≤ ln ⁡ 2 e 0 ≤ y ≤ e x . Logo:

∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 0 e x d y d x  

Passo 2

∫ 0 ln ⁡ 2 e x   d x

Passo 3

Das técnicas de integração, temos que ∫ e x d x , veja a prova:

Temos e x façamos a derivada dela, então e x d x e então temos que a função se repete, da mesma forma que a derivada segunda é e x d x .

Dito isso, temos:

e x 0 ln ⁡ 2

Sabemos que e ln ⁡ x   é o próprio x, assim:

e 2 0 ln ⁡ 2 = 2 - 1 = 1

Resposta

A = 1

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Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para estimar a coordenada x do ponto de interseção y = x 4 e y = 3 x - x 2 . Se D é a região delimitada por essas duas curvas, estime ∬ D xd A
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos cilindros x 2 + y 2 = r 2 e y 2 + z 2 = r 2 .
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.
Utilize a propriedade 11 para estimar o valor da integral. ∬ T s e n 4 ( x + y )d A , onde T é o triângulo delimitado pelas retas y = 0 , y = 2 x e x = 1 .
Utilize a simetria para calcular ∬ D 2 - 3 x + 4 yd A , onde D é a região delimitada pelo quadrado com vértices ( ± 5,0 ) e ( 0 , ± 5 ) .