As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentam interseção. Em seguida, encontre a área da região.

∫ 0 2 ∫ x 2 - 4 0 d y   d x   + ∫ 0 4 ∫ 0 x d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Nos exercícios anteriores tínhamos definido a integral pela função, agora de maneira contraria vamos encontrar a função pela integral. Sendo assim, nós temos que a função que limita os pontos é dado por y, veja que y = x 2 - 4 e vai até a função que a limita nesse intervalo, ou seja y = x . Se fizermos um esboço dessas funções temos:

Onde temos, como mostrado na integral x indo de (0,2) e depois (0,4)

Passo 2

x 2 - 4 = 0

x = ± 2

x 2 - 4 = x

x 2 - 4 2 = x

x 4 + 16 - 8 x 2 = x

x ≈ 2,352

Passo 3

∫ 0 2 ∫ x 2 - 4 0 d y   d x     + ∫ 0 4 ∫ 0 x d y   d x

∫ 0 2 - x 2 + 4 d x     +   ∫ 0 4 x     d x

- 1 3 x 3 + 4 x 0 2 + 2 3 x 3 2 0 4  

32 3

Resposta

Os pontos de interseção são:

x = - 2

x ≈ 2,352

E o valor da integral é:

32 3

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