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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 26

Calcule a integral efetuando uma substituição trigonométrica apropriada.

∫ 1 + 4 x 2 x d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 1 + 4 x 2 x d x

= ∫ 1 + 2 x 2 x d x

Vamos chamar:

2 x = tan ⁡ θ

→ x = 1 2 tan ⁡ θ

→ d x = 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 1 + tan 2 ⁡ θ tan ⁡ θ ( sec 2 ⁡ θ ) d θ

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

∫ sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ sec ⁡ θ ( 1 + tan 2 ⁡ θ ) tan ⁡ θ d θ

= ∫ 1 + tan 2 ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ 1 tan ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ csc ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

∫ csc ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ

= - ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ + sec ⁡ θ + C

Aí então, voltamos para x :

- ln ⁡ 1 + 4 x 2 2 x + 1 2 x + 1 + 4 x 2 + C

= - ln ⁡ 1 + 4 x 2 + 1 2 x + 1 + 4 x 2 + C

Resposta

- ln ⁡ 1 + 4 x 2 + 1 2 x + 1 + 4 x 2 + C

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Nos exercícios 68 a 72, calcular a integral definida:70. ∫ 1 2 d t t 4 4 + t 2
Use as duas substituições no Exercício 11 para estimar a integral definida ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x t g x d x E confirme que os resultados são iguais.
Mostre que as substituições u = s e c ⁡ ( x ) e u = t g ( x ) produzem valores diferentes para a integral: ∫ sec 2 ⁡ x t g x d x Explique por que ambos estão corretos.
27-30. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.28. A substituição trigonométrica x = a . s e nθ é usada com a restrição 0 ≤ θ ≤ π .
1-26. Calcule a integral.20. ∫ cos ⁡ θ 2 - s e n 2 θ d θ