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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 70

Nos exercícios 68 a 72, calcular a integral definida:

70. ∫ 1 2 d t t 4 4 + t 2

Passo 1

Essa questão é de substituição trigonométrica, então antes de fazermos a integral definida, calcularemos a integral indefinida.

Definindo o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa.

Sem mais enrolação, vamos lá!

Passo 2

Falaremos que o nosso cateto oposto é t , o cateto adjacente é 2 e a hipotenusa é t 2 + 4 .

Calcularemos a expressão do cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = c a t   a d j h i p o = 2 t 2 + 4

Ajeitando essa expressão:

t 2 + 4 = 2 cos ⁡ θ = 2 sec ⁡ θ

Agora a tan ⁡ θ :

tan ⁡ θ = c a t   o p o c a t   a d j = t 2

Ajeitando essa expressão:

t = 2 tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados, temos:

d t = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos substituir, tudo na integral

∫ d t t 4 t 2 + 4 = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ d θ 2 tan ⁡ θ 4 2 sec ⁡ θ = ∫ sec ⁡ θ d θ 16 tan 4 ⁡ θ = 1 16 ∫ sec ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ

Passo 3

Focaremos nessa expressão da integral:

∫ sec ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ

Transformaremos tudo na expressão com seno e cosseno!

∫ sec ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ = ∫ cos 4 ⁡ θ d θ cos ⁡ θ sin 4 ⁡ θ = ∫ cos 3 ⁡ θ d θ sin 4 ⁡ θ = ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ sin 4 ⁡ θ

Com a expressão toda ajeitada, vou chamar sin ⁡ θ = u

Então:

cos 2 ⁡ θ = 1 - u 2

E

d u = cos ⁡ θ d θ

Voltando tudo na integral, temos:

∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ sin 4 ⁡ θ = ∫ 1 - u 2 d u u 4 = ∫ d u u 4 - ∫ d u u 2

∫ d u u 4 = - 1 3 u 3

∫ d u u 2 = - 1 u

∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ sin 4 ⁡ θ = ∫ 1 - u 2 d u u 4 = ∫ d u u 4 + ∫ d u u 2 = - 1 3 u 3 + 1 u + C

Agora voltamos para sin ⁡ θ = u :

∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ sin 4 ⁡ θ = - 1 3 sin 3 ⁡ θ + 1 sin ⁡ θ + C

Puxando lá de trás o que é sin ⁡ θ .

sin ⁡ θ = c a t   o p o h i p o = t t 2 + 4

∫ d t t 4 t 2 + 4 = - 1 3 t t 2 + 4 3 + 1 t t 2 + 4 + C

∫ d t t 4 t 2 + 4 = - t 2 + 4 t 2 + 4 3 t 3 + t 2 + 4 t + C

Agora, façamos a definida, mas não se esqueça do 1 16 que botamos em evidência lá no começo hein.

∫ 1 2 d t t 4 4 + t 2 = 1 16 - t 2 + 4 t 2 + 4 3 t 3 +   t 2 + 4 t 2 1 = 1 16 2 3 - - 2 5 3 = 1 16 2 3 + 2 5 3

∫ 1 2 d t t 4 4 + t 2 = 1 48 2 + 2 5

Resposta

1 48 2 + 2 5

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