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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 7

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

y = x 3 ;

y = x ;

x ≥ 0 ;

Em torno do eixo x .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função y apresentada em torno do eixo x :

y = x 3

Para y = x e x ≥ 0 .

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma função contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Se liga! Para calcular o volume, vamos primeiro ter uma noção de como vai ficar o sólido.

A reta azul representa y = x e a linha verde representa y = x 3 .

Passo 3

Agora é seguinte, para calcular o volume, precisamos usar a fórmula do volume dos sólidos de revolução. Como estamos girando em torno do eixo x , usaremos:

V = ∫ A x d x

Onde a área é dada por

π r e x t e r n o 2 - π r i n t e r n o 2 .

Analisando o gráfico, onde a área é justamente a região sombreada.

Podemos perceber que o raio externo é

r e x t e r n o = x

E o interno

r i n t e r n o = x 3

Sendo assim, podemos escrever

A = π x 2 - x 6

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral.

Como no enunciado foi dito que x ≥ 0 e podemos perceber pelo gráfico que os pontos de interseção entre a funções são

x = 0       e       x = 1

Podemos definir o intervalo de x como

0 ≤ x ≤ 1

Passo 5

Agora podemos montar a integral e resolvê-la

V = ∫ A x d x = ∫ 0 1 π x 2 - x 6 d x

Podemos jogar o π para fora da integral. Assim temos

V = π ∫ 0 1 x 2 - x 6 d x = π x 3 3 - x 7 7 0 1 ∴

V = π 1 3 - 1 7 ∴

V = 4 π 21 .

Enfim, achamos o volume!!

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

V = 4 π 21

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