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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 13

Calcule a integral indefinda

int (e^x d x)/(7 + e^(2 x))

Passo 1

int (e^x d x)/(7 + e^(2 x))

Aquele e^x está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = e^x -> d a = e^x d x

Vamos ter:

int (e^x d x)/(7 + e^(2 x)) = int (d a)/(a^2 + 7)

Passo 2

Vamos para a integral em a

int (d a)/(a^2 + 7)

Ela vai ser quase a integral da tg^(- 1) , precisamos de y^2 + 1 no denominador, para isso vamos colocar o 7 em evidência:

7 ((a^2)/(7) + 1)

E faremos

(a^2)/(7) = y^2 -> (a)/(sqrt(7)) = y

Assim

d a = sqrt(7) d y

A integral fica:

int (d a)/(a^2 + 7) = int (d a)/(7 ((a^2)/(7) + 1)) = int (sqrt(7) d y)/(7 (y^2 + 1)) = (sqrt(7))/(7) int (d y)/((y^2 + 1))

Agora temos a integral de tg^(- 1)

(sqrt(7))/(7) int (d y)/((y^2 + 1)) = (sqrt(7))/(7) tg^(- 1) y + C

Voltando para a

(sqrt(7))/(7) tg^(- 1) y + C = (sqrt(7))/(7) tg^(- 1) (a)/(sqrt(7)) + C

Voltando para x :

(sqrt(7))/(7) tg^(- 1) (a)/(sqrt(7)) + C = (sqrt(7))/(7) tg^(- 1) (e^x)/(sqrt(7)) + C

Resposta

(sqrt(7))/(7) tg^(- 1) (e^x)/(sqrt(7)) + C

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