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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 24

Calcule a integral indefinida:

int sen x sen 3 x sen 5 x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de senos com argumentos diferentes. Para começar a resolver esse tipo de questão precisamos separar esse produto, ok? Vamos usar primeiro a relação no produto de senos sen 3 x sen 5 x :

sen a sen b = (cos ( a - b ) - cos ( a + b ))/(2)

Nesse caso, a = 3 x e b = 5 x , ficamos então com:

int sen x sen 3 x sen 5 x d x = int sen x (cos ( 3 x - 5 x ) - cos ( 3 x + 5 x ))/(2) d x

= (1)/(2) int sen x (cos (- 2 x) - cos (8 x)) d x = (1)/(2) int sen x (cos (2 x) - cos (8 x)) d x

Acima eu usei que cos ( - 2 x ) = cos ( 2 x ) . Agora vamos separar em duas integrais e resolver uma de cada vez.

int sen x sen 3 x sen 5 x d x = (1)/(2) [int sen x cos 2 x d x - int sen x cos 8 x d x]

Passo 2

Vamos resolver primeiro a segunda integral:

int sen x cos 8 x d x

Usando a relação:

sen a cos b = (sen ( a + b ) + sen ( a - b ))/(2)

No nosso caso, a = x e b = 8 x , ficamos então com:

int sen x cos 8 x d x = (1)/(2) int ( sen (9 x) + sen ( - 7 x ) ) d x = (1)/(2) int ( sen 9 x - sen 7 x ) d x

Para resolver essa integral vamos precisar saber:

int sen alpha x d x = - (cos alpha x)/(alpha) + C alpha != 0

Sendo assim,

(1)/(2) [int sen 9 x d x - int sen 7 x d x] = (1)/(2) (- (cos 9 x)/(9) - (- (cos 7 x)/(7))) + C

int sen x cos 8 x d x = (1)/(2) ((cos 7 x)/(7) - (cos 9 x)/(9)) + C

Pronto! A primeira já foi.

Passo 3

Agora vai ser a integral:

int sen x cos 2 x d x

Usaremos a mesma relação anterior. Nesse caso, a = x e b = 2 x , ficamos então com:

int sen x cos 2 x d x = (1)/(2) int ( sen ( 3 x ) + sen ( - x ) ) d x = (1)/(2) int ( sen 3 x - sen x ) d x

= (1)/(2) [int sen 3 x d x - int sen x d x] = (1)/(2) (- (cos 3 x)/(3) - (- cos x)) + C

int sen x cos 2 x d x = (1)/(2) (cos x - (cos 3 x)/(3)) + C

Passo 4

Para terminar, susbtituímos tudo na integral inicial.

int sen x sen 3 x sen 5 x d x = (1)/(2) [int sen x cos 2 x d x - int sen x cos 8 x d x]

int sen x sen 3 x sen 5 x d x = (1)/(2) [(1)/(2) (cos x - (cos 3 x)/(3)) - (1)/(2) ((cos 7 x)/(7) - (cos 9 x)/(9))]

= (cos x)/(4) - (cos 3 x)/(12) - (cos 7 x)/(28) + (cos 9 x)/(36) + C

Não se esqueça de que a constante só entra no final.

Resposta

int sen x sen 3 x sen 5 x d x = (cos x)/(4) - (cos 3 x)/(12) - (cos 7 x)/(28) + (cos 9 x)/(36) + C

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