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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 22

Calcule a integral indefinida:

int cos t cos 3 t d t

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de cossenos com argumentos diferentes. Para resolver esse tipo de questão presisamos separar esses cossenos, ok? Vamos usar a relação:

cos a cos b = (cos ( a - b ) + cos ( a + b ))/(2)

No nosso caso, a = t e b = 3 t , ficamos então com:

int cos t cos 3 t d t = int (cos ( t - 3 t ) + cos ( t + 3 t ))/(2) d t

= (1)/(2) int [cos (- 2 t) + cos (4 t)] d t

Aqui eu vou usar que cos ( - 2 t ) = cos (2 t) .

int cos t cos 3 t d t = (1)/(2) int [cos (2 t) + cos (4 t)] d t

Pronto! Agora podemos resolver.

Passo 2

Para resolver essa integral vamos precisar saber:

int cos alpha t d t = (sen alpha t)/(alpha) + C alpha != 0

Separando em duas integrais, nós ficamos com:

int cos t cos 3 t d t = (1)/(2) int [cos (2 t) + cos (4 t)] d t = (1)/(2) [int cos 2 t d t + int cos 4 t d t]

= (1)/(2) ((sen 2 t)/(2) + (sen 4 t)/(4)) + C

Não se esqueça da constante no final.

Resposta

int cos t cos 3 t d t = (1)/(2) ((sen 2 t)/(2) + (sen 4 t)/(4)) + C

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