Calcule a integral indefinida:

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 3 t d t

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de cossenos com argumentos diferentes. Para resolver esse tipo de questão presisamos separar esses cossenos, ok? Vamos usar a relação:

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ ( a - b ) + cos ⁡ ( a + b ) 2

No nosso caso, a = t e b = 3 t , ficamos então com:

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 3 t d t = ∫ cos ⁡ ( t - 3 t ) + cos ⁡ ( t + 3 t ) 2 d t

= 1 2 ∫ cos ⁡ - 2 t + cos ⁡ 4 t d t

Aqui eu vou usar que cos ⁡ ( - 2 t ) = cos ⁡ 2 t .

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 3 t d t = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 t + cos ⁡ 4 t d t

Pronto! Agora podemos resolver.

Passo 2

Para resolver essa integral vamos precisar saber:

∫ cos ⁡ α t d t = sen ⁡ α t α + C             α ≠ 0

Separando em duas integrais, nós ficamos com:

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 3 t d t = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 t + cos ⁡ 4 t d t = 1 2 ∫ cos ⁡ 2 t d t + ∫ cos ⁡ 4 t d t

= 1 2 sen ⁡ 2 t 2 + sen ⁡ 4 t 4 + C

Não se esqueça da constante no final.

Resposta

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 3 t d t = 1 2 sen ⁡ 2 t 2 + sen ⁡ 4 t 4 + C

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