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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 53

Calcule as integrais nos Exercícios 51-56

53

int_(- pi)^(pi) s e n 3 x * s e n 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral definida.

Passo 2

Repare que podemos reescrever essa integral dessa forma

int_(- pi)^(pi) s e n^2 3 x d x

E vamos lembrar também daquela relação primordial da trigonometria onde

s e n ( x )^2 = (1 - c o s ( 2 x ))/(2)

E assim podemos escrever

int_(- pi)^(pi) s e n^2 3 x d x = int_(- pi)^(pi) ((1 - c o s (6 x))/(2)) d x

Passo 3

Para resolver a integral vamos separá-la em duas

int_(- pi)^(pi) ((1)/(2)) d x - (1)/(2) int_(- pi)^(pi) ( c o s (6 x) ) d x

Passo 4

Resolver a primeira integral é simples

int_(- pi)^(pi) ((1)/(2)) d x = (1)/(2) (pi - (- pi)) = pi

Passo 5

A segunda integral dá um pouquinho mais de trabalho, mas basta fazer uma substituição de variável onde u = 6 x e lembrar que a integral de cos (x) é s e n ( x )

(1)/(2) int_(- pi)^(pi) ( c o s (6 x) ) d x

(1)/(2) ((1)/(6) s e n (6 x)) = (1)/(2) ((1)/(6) (s e n (6 pi) - s e n (- 6 pi))) = 0

Passo 6

Agora é só somar as integrais

0 + pi = pi

Resposta

A resposta é pi .

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