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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 61

Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.

61

∫ s e n ѳ ⋅ c o s ѳ ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas.

Passo 2

As relações que vamos usar são

s e n 2 ѳ = 2   s e n ѳ ⋅ c o s ѳ

sen ⁡ a cos ⁡ b = sen ⁡ a + b + s e n ⁡ ( a - b ) 2

Passo 3

Primeiro multiplicamos nossa integral por 2 2 .

1 2 ∫ 2 ⋅ s e n ѳ ⋅ c o s ѳ ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ

E aí usamos aquela primeira propriedade

1 2 ∫ 2 ⋅ s e n 2 ѳ ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ

Daí usamos a segunda propriedade

1 2 ∫ 2 ⋅ s e n 2 ѳ ⋅ c o s 3 ѳ   d ѳ =   1 2 ∫ sen ⁡ 5 ѳ + sen ⁡ - ѳ 2 d ѳ

Passo 4

Para calcular a integral, basta usar uma substituição onde o argumento do seno é u

E aí teremos

1 2 ∫ sen ⁡ 5 ѳ + sen ⁡ - ѳ 2 d ѳ = 1 4 c o s ѳ - 1 20 c o s 5 ѳ + C

Resposta

1 4 c o s ѳ - 1 20 c o s 5 ѳ + C

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