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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 48

Calcule as integrais nos Exercícios 33-50

49

int c o t g^6 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.

Lembrando que c o t g (x) = (1)/(t g (x)) = (c o s ( x ))/(s e n ( x ))

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte forma

int c o t g^6 2 x d x = int c o t g^4 2 x c o t g^2 2 x d x

Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral

c o t g^2 2 x = c s c^2 2 x - 1

Então fica

int c o t g^4 2 x ( c s c^2 2 x - 1 ) d x

Distribuindo c o t g^4 2 x

int ( c s c^2 2 x * c o t g^4 2 x - c o t g^4 2 x ) d x

E de novo

int ( c s c^2 2 x * c o t g^4 2 x - ( c o t g^2 2 x (c s c^2 2 x - 1) ) d x

int ( c s c^2 2 x * c o t g^4 2 x - c o t g^2 2 x * c s c^2 2 x + c o t g^2 2 x ) d x

Vamos fazer uma última vez

int ( c s c^2 2 x * c o t g^4 2 x - c o t g^2 2 x * c s c^2 2 x + c s c^2 2 x - 1 ) d x

Agora a gente pode escrever como a soma da várias integrais

int (c s c^2 2 x * c o t g^4 2 x) d x - int ( c o t g^2 2 x * c s c^2 2 x ) d x + int c s c^2 2 x d x - int d x

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral

int (c s c^2 2 x * c o t g^4 2 x) d x

Vamos fazer a seguinte substituição de variável

2 x = u 2 d x = d u

Então

(1)/(2) int (c s c^2 ( u ) * c o t g^4 (u)) d u

A segunda substituição que faremos é

c o t g (u) = v - c s c^2 (u) d u = d v

Ai ficamos com

- (1)/(2) int v^4 d v

Agora essa integral é mais simples de resolver

- (1)/(2) int v^4 d v = - (v^5)/(10) = - (c o t g^5 (u))/(10) = - (c o t g^5 (2 x))/(10) + C_1

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda integral

int ( c o t g^2 2 x * c s c^2 2 x ) d x

Fazendo as mesmas substituições do passo anterior a gente chega em

- (1)/(2) int v^2 d v = - (v^3)/(6) = - (c o t g^3 (u))/(6) = - (c o t g^3 ( 2 x ))/(6) + C_2

Passo 5

Agora vamos analisar a terceira integral

int c s c^2 2 x d x

Vamos de novo fazer a substituição

2 x = u 2 d x = d u

Ai ficamos com

(1)/(2) int c s c^2 ( u ) d u

Agora essa integral aqui é por tabela

(1)/(2) int c s c^2 ( u ) d u = - (1)/(2) c o t g ( u )

Então o valor é

- (1)/(2) c o t g ( 2 x ) + C_3

Passo 6

Só falta a última integral agora, e ela é bem simples

int d x = x + C_4

Passo 7

Já temos os valores de todas integrais agora é só somar tudo

- (c o t g^5 (2 x))/(10) + (c o t g^3 (2 x))/(6) - (1)/(2) c o t g (2 x) - x + C_5

Resposta

- (c o t g^5 (2 x))/(10) + (c o t g^3 (2 x))/(6) - (1)/(2) c o t g (2 x) - x + C_5

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