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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 67

Calcule a integral.

int (1)/(sqrt(e^x + 1)) d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos resolver essa por substituição.

Vamos fazer u = sqrt(e^x + 1) .

Aí teremos d u = (e^x)/(2 sqrt(e^x + 1)) d x -> (2 sqrt(e^x + 1))/(e^x) d u = d x

Vamos jogar isso na integral pra ver no que dá...

Passo 2

int (1)/(u) ((2 sqrt(e^x + 1))/(e^x)) d u

Bom, a gente não pode deixar esse x aí, então vamos substituir ele também de acordo com o lá de cima:

u = sqrt(e^x + 1)

u^2 = e^x + 1

e^x = u^2 - 1

int (2 u)/(u (u^2 - 1)) d u

= 2 int (1)/(u^2 - 1) d u

Passo 3

Beleza, vamos fazer isso aqui agora:

2 int (1)/(( u - 1 ) ( u + 1 )) d u

Aí resolvemos e achamos:

[ln |u - 1| - ln |u + 1|]

Pronto! Integral calculada. Vamos voltar pra nossa variável x e aplicar os intervalos...

Voltando pra variável x :

ln ( sqrt(e^x + 1) - 1 ) - ln ( sqrt(e^x + 1) + 1 ) + C

E terminamos por aqui😊

Resposta

ln ( sqrt(e^x + 1) - 1 ) - ln ( sqrt(e^x + 1) + 1 ) + C

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