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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 9

Calcule a integral indefinida.

int (x^2 + 1)/((x - 1)^3) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Para simplificar o denominador, vamos fazer a substituição t = x - 1 => x = t + 1 . Fazendo isso, d x = d t , logo

I = int (x^2 + 1)/((x - 1)^3) d x = int ((t + 1)^2 + 1)/(t^3) d t

Portanto,

I = int (t^2 + 2 t + 2)/(t^3) d t

Passo 2

Assim, podemos reescrever a integral:

I = int ((1)/(t) + 2 t^(- 2) + 2 t^(- 3)) d t

Fazendo as integrais:

I = ln |t| - (2)/(t) - (4)/(t^2) + C

Passo 3

Voltando para a variável original com t = x - 1 :

I = ln |x - 1| - (2)/(x - 1) - (4)/((x - 1)^2) + C

Resposta

ln |x - 1| - (2)/(x - 1) - (4)/((x - 1)^2) + C

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