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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 24

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2 x))^(x^2)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> + oo)(lim) ln (1 + (1)/(2 x))^(x^2)) = e^(underset(x -> + oo)(lim) x^2 ln (1 + (1)/(2 x)))

Passo 2

Agora temos underset(x -> + oo)(lim) x^2 ln (1 + (1)/(2 x)) que se trata de uma indeterminação 0 * oo , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes x^2 .

underset(x -> + oo)(lim) x^2 ln (1 + (1)/(2 x)) = underset(x -> + oo)(lim) (ln (1 + (1)/(2 x)))/(1 // x^2) = underset(x -> + oo)(lim) (ln ((2 x + 1)/(2 x)))/(x^(- 2)) =

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite e fazendo algumas manipulações temos

underset(x -> + oo)(lim) (((2 x)/(2 x + 1)) * (1)/(- 2 x^2))/(- 2 x^(- 3)) = underset(x -> + oo)(lim) ((2 x)/(2 x + 1)) * (2 x^3)/(2 x^2) = underset(x -> + oo)(lim) ((2 x^2)/(2 x + 1))

Passo 4

Aplicando L’Hôpital novamente e resolvendo o limite temos.

underset(x -> + oo)(lim) ((2 x^2)/(2 x + 1)) = underset(x -> + oo)(lim) ((4 x)/(2)) = underset(x -> + oo)(lim) (2 x) = + oo

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2 x))^(x^2) = e^(underset(x -> + oo)(lim) x^2 ln (1 + (1)/(2 x))) = e^(underset(x -> + oo)(lim) 2 x) = + oo

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2 x))^(x^2) = + oo

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