Calcule o limite, se existir.

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 x x 2

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 2 x x 2 =   e lim x → + ∞ x 2 ⁡ ln ⁡ 1 + 1 2 x

Passo 2

Agora temos lim x → + ∞ x 2 ⁡ ln ⁡ 1 + 1 2 x que se trata de uma indeterminação 0 ∙ ∞ , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes x 2 .

lim x → + ∞ x 2 ⁡ ln ⁡ 1 + 1 2 x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 2 x 1 / x 2 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 2 x x - 2 =

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite e fazendo algumas manipulações temos

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x + 1 ∙ 1 - 2 x 2 - 2 x - 3 =   lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x + 1 ∙ 2 x 3 2 x 2 =   lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 2 x + 1

Passo 4

Aplicando L’Hôpital novamente e resolvendo o limite temos.

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 2 x + 1 =   lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 =   lim x → + ∞ ⁡ 2 x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 x x 2 =   e lim x → + ∞ x 2 ⁡ ln ⁡ 1 + 1 2 x = e lim x → + ∞ ⁡ 2 x = + ∞

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 x x 2 = + ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados