Calcule a integral indefinida.

∫ 5 x 2 - 3 x 3 - x   d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral. Note que se trata de uma função racional: é um exemplo clássico de frações parciais!

Como o grau do numerado é menor que o denominador, não precisamos fazer a divisão de polinômios. O primeiro passo é fatorar o denominador:

x 3 - x = x   x 2 - 1 = x   x + 1 ( x - 1 )

Como todos os termos são de primeiro grau e distintos, podemos escrever:

5 x 2 - 3 x 3 - x = A x + B x + 1 + C x - 1 = A   x + 1 x - 1 + B x x - 1 + C x ( x + 1 ) x 3 - x

Assim,

5 x 2 - 3 = A x 2 - A + B x 2 - B x + C x 2 + C x = A + B + C x 2 + C - B x - A

Portanto, comparando termo a termo, vemos de cara que A = 3 e B = C . Assim

3 + 2 B = 5 ⇒ B = C = 1

Passo 2

Desta forma, a integral pode ser reescrita:

I = ∫ 5 x 2 - 3 x 3 - x   d x = 3 ∫ 1 x   d x + 1 ∫ 1 x - 1   d x + 1 ∫ 1 x - 1   d x

Fazendo as integrais:

I = 3 ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 1 + C

*Nunca esqueça do módulo quando integrar 1 / x , muitas pessoas esquecem...

Resposta

3 ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 1 + C

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