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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 2

Calcule a integral indefinida.

int (5 x^2 - 3)/(x^3 - x) d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral. Note que se trata de uma função racional: é um exemplo clássico de frações parciais!

Como o grau do numerado é menor que o denominador, não precisamos fazer a divisão de polinômios. O primeiro passo é fatorar o denominador:

x^3 - x = x (x^2 - 1) = x (x + 1) ( x - 1 )

Como todos os termos são de primeiro grau e distintos, podemos escrever:

(5 x^2 - 3)/(x^3 - x) = (A)/(x) + (B)/(x + 1) + (C)/(x - 1) = (A (x + 1) (x - 1) + B x (x - 1) + C x ( x + 1 ))/(x^3 - x)

Assim,

5 x^2 - 3 = A x^2 - A + B x^2 - B x + C x^2 + C x = (A + B + C) x^2 + (C - B) x - A

Portanto, comparando termo a termo, vemos de cara que A = 3 e B = C . Assim

3 + 2 B = 5 => B = C = 1

Passo 2

Desta forma, a integral pode ser reescrita:

I = int (5 x^2 - 3)/(x^3 - x) d x = 3 int (1)/(x) d x + 1 int (1)/(x - 1) d x + 1 int (1)/(x - 1) d x

Fazendo as integrais:

I = 3 ln |x| + ln |x - 1| + ln |x + 1| + C

*Nunca esqueça do módulo quando integrar 1 // x , muitas pessoas esquecem...

Resposta

3 ln |x| + ln |x - 1| + ln |x + 1| + C

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Suponha que P x seja um polinômio cúbico. Enuncie uma forma geral da decomposição em frações parciais de: f x = P x x + 5 4 E enuncie as implicações dessa decomposição para o cálculo da integral ∫ f x
39-42. Calcule a integral fazendo a substituição que converte o integrando em uma função racional.41. ∫ e 3 x e 2 x + 4 d x
Encontre a área da região sob a curva y = 1 1 + e x acima do intervalo - ln ⁡ 5 , ln ⁡ 5 . Sugestão: Faça uma substituição que converta o integrando em uma função racional.
Considere as funções: f x = 1 x 2 - 4eg x = x x 2 - 4 Cada uma das integrais pode ser calculada usando frações parciais e pelo menos uma outra técnica de integração. Demonstre duas técnicas diferentes
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Integrando em: ∫ 3 x 4 + 5 x 2 + 1 2 d x É uma função racional própria.