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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 10

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(sqrt(y) + 1) d y

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Para simplificar o denominador, vamos tentar a substituição t = sqrt(y) + 1 . Assim,

sqrt(y) = t - 1 => y = (t - 1)^2 => d y = 2 (t - 1) d t

Portanto,

I = int (1)/(sqrt(y) + 1) d y = int (1)/(t) * 2 (t - 1) d t

Passo 2

Desta forma, temos que

I = 2 int (t - 1)/(t) d t = 2 int (1 - (1)/(t)) d t

Efetuando a integral:

I = 2 t - 2 ln |t| + C

Passo 3

Voltando para a variável original com t = sqrt(y) - 1 :

I = 2 (sqrt(y) - 1) - 2 ln |sqrt(y) - 1| + C

Resposta

2 (sqrt(y) - 1) - 2 ln |sqrt(y) - 1| + C

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