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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 32

Avalie a integral:

int_1^3 (e^(3 // x))/(x^2) d x

Passo 1

Em primeiro lugar temos que dar um jeito naquele 3 // x dentro de exponencial. Então vamos fazer uma substituição:

t = 3 // x

d t = - (3)/(x^2) d x => d x = - (x^2)/(3) d t

Substituindo isso na nossa integral indefinida, ficamos com:

I = int (e^((3)/(x)))/(x^2) d x = int (e^t)/(x^2) (- (x^2)/(3) d t)

I = - int (e^t)/(3) d t

E então ficamos só com a integral de uma exponencial:

I = - (1)/(3) int e^t d t = - (1)/(3) e^t + C

Passo 2

Agora vamos “desfazer” a nossa substituição:

t = (3)/(x)

I = - (1)/(3) e^((3)/(x)) + C

E temos que avaliar esse resultado quando x varia de x = 1 até x = 3 :

I_x = 1 = - (1)/(3) e^3

I_x = 3 = - (1)/(3) e^1

Então a integral é:

int_1^3 (e^(3 // x))/(x^2) d x = - (1)/(3) e + (1)/(3) e^3 = (1)/(3) (e^3 - e)

Resposta

A integral vale (1)/(3) (e^3 - e) .

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