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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 4

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(x^2 sqrt(a^2 + x^2)) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral. O ideal é tentar eliminar essa raiz chata no denominador. Para fazer isso, vamos usar uma substituição trigonométrica:

x = a tan theta

Assim,

sqrt(a^2 + x^2) = a sqrt(1 + tan^2 theta) = a sqrt(sec^2 theta) = a sec theta

Além disso,

d x = a sec^2 theta d theta

Desta forma, a integral ficará:

I = int (1)/(x^2 sqrt(a^2 + x^2)) d x = int (1)/(a^2 tan^2 theta * a sec theta) * a sec^2 theta d theta

Portanto,

I = (1)/(a^2) int (sec theta)/(tan^2 theta) d theta

Passo 2

Passando para senos e cossenos:

(sec theta)/(tan^2 theta) = ((1)/(cos theta))/((s e n^2 theta)/(cos^2 theta)) = (cos theta)/(s e n^2 theta)

Portanto,

I = (1)/(a^2) int (cos theta)/(s e n^2 theta) d theta

Chamando u = s e n theta , temos que d u = cos theta d theta . Assim,

I = (1)/(a^2) int (1)/(u^2) d u = - (1)/(a^2 u) + C = - (1)/(a^2 s e n theta) + C

Passo 3

Agora precisamos voltar a variável x . Note que

tan theta = (x)/(a) = (s e n theta)/(cos theta) => cos theta = (a)/(x) s e n theta

Na relação fundamental:

s e n^2 theta + cos^2 theta = 1 => (1 + (a^2)/(x^2)) s e n^2 theta = 1 => s e n^2 theta = (x^2)/(a^2 + x^2)

Assim,

(1)/(s e n theta) = (sqrt(a^2 + x^2))/(x)

Logo,

I = = - (1)/(a^2 s e n theta) + C = - (sqrt(a^2 + x^2))/(a^2 x) + C

Resposta

- (sqrt(a^2 + x^2))/(a^2 x) + C

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