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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 48

Usando a substituição z = tan (1)/(2) x , prove que

int c o s s e c x d x = ln sqrt((1 - cos x)/(1 + cos x)) + C

Passo 1

A questão pede calcularmos a integral da cossecante usando a substituição z = tan (1)/(2) x . Na seção do livro, é mostrado que nessa substituição, valem as fórmulas:

s e n x = (2 z)/(1 + z^2)

cos x = (1 - z^2)/(1 + z^2)

d x = (2)/(1 + z^2) d z

*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.

Lembrando que cossecante é 1 sobre seno:

int c o s s e c x d x = int (1)/(s e n x) d x

Fazendo a substituição:

I = int c o s s e c x d x = int (1)/((2 z)/(1 + z^2)) (2)/(1 + z^2) d z = int (1)/(z) d z

Passo 2

Calculando a integral:

I = ln |z| + C

Agora precisamos voltar a variável x e para isso, vamos usar a expressão do cosseno:

cos x = (1 - z^2)/(1 + z^2)

Assim, multiplicando em cruz

(1 + z^2) cos x = 1 - z^2 => cos x + cos x z^2 = 1 - z^2

Portanto,

z^2 + cos x z^2 = 1 - cos x => (1 + cos x) z^2 = 1 - cos x

Logo,

|z| = sqrt((1 - cos x)/(1 + cos x))

Passo 3

Assim, temos que

I = int c o s s e c x d x = ln |z| + C = ln sqrt((1 - cos x)/(1 + cos x)) + C

Resposta

Demonstração.

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