Usando a substituição , prove que
Passo 1
A questão pede calcularmos a integral da cossecante usando a substituição . Na seção do livro, é mostrado que nessa substituição, valem as fórmulas:
*Essas expressões são deduzidas no livro e apresentadas no teorema 9.7.1.
Lembrando que cossecante é sobre seno:
Fazendo a substituição:
Passo 2
Calculando a integral:
Agora precisamos voltar a variável e para isso, vamos usar a expressão do cosseno:
Assim, multiplicando em cruz
Portanto,
Logo,
Passo 3
Assim, temos que
Resposta
Demonstração.