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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 40

Avalie a integral:

int_0^(pi) sen (6 x) cos (3 x) d x

Passo 1

Para essa integral, vamos ter que lembrar de uma identidade trigonométrica importante:

sen ( a ) cos ( b ) = (sen (a + b) + sen (a - b))/(2)

E então:

sen (6 x) cos (3 x) = (sen (6 x + 3 x) + sen (6 x - 3 x))/(2)

sen (6 x) cos (3 x) = (sen (9 x) + sen (3 x))/(2)

E então a integral indefinida é:

int sen (6 x) cos (3 x) d x = (1)/(2) int sen (9 x) d x + (1)/(2) int sen (3 x) d x

Passo 2

Agora vamos resolver essas duas integrais:

(1)/(2) int sen (9 x) d x = - (1)/(18) cos (9 x) + C

(1)/(2) int sen (3 x) d x = - (1)/(6) cos (3 x) + C

E então a integral é:

I = - (1)/(18) cos (9 x) - (1)/(6) cos (3 x) + C

Passo 3

Agora vamos avaliar isso quando x varia de x = 0 até x = pi :

I_x = 0 = - (1)/(18) cos (0) - (1)/(6) cos (0) = - (1)/(18) - (1)/(6) = - (4)/(18)

I_x = pi = - (1)/(18) cos (9 pi) - (1)/(6) cos (3 pi) = (1)/(18) + (1)/(6) = (4)/(18)

E então:

int_0^(pi) sen (6 x) cos (3 x) d x = (4)/(18) - (- (4)/(18)) = (8)/(18)

Resposta

A integral vale 8 // 18 .

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