Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 54

Suponha que seja um polinômio cúbico. Enuncie uma forma geral da decomposição em frações parciais de:

E enuncie as implicações dessa decomposição para o cálculo da integral .

Passo 1

Então pessoal, o que temos aqui é uma divisão normal entre dois polinômios, no qual o grau do polinômio do numerador é menor do que o grau do polinômio do denominador. Assim como solicitado, vamos decompor essa divisão em frações parciais, beleza? Show! Como o grau da variável no denominador é e o grau de todo o polinômio no denominador é , então teremos:

Ok, até aqui tudo certo, né? Então bora continuar!

Passo 2

O que temos que fazer agora é multiplicar os dois lados da igualdade pelo denominador, se liga:

Simplificando, teremos:

E a partir disso o processo seria comparar os graus dos polinômios em ambos os lados da igualdade para estabelecer um sisteminha de equações, a fim de encontrar as constantes , , e .

As implicações dessa decomposição para a nossa integral é que, uma vez encontrado os valores das constantes, todas as 4 integrais serão resolvidas por substituições simples! Esse é o motivo de utilizarmos frações parciais quando encontramos uma divisão de polinômios.

E essa é a nossa análise da questão, galera! 😉