Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 54
Suponha que seja um polinômio cúbico. Enuncie uma forma geral da decomposição em frações parciais de:
E enuncie as implicações dessa decomposição para o cálculo da integral .
Passo 1
Então pessoal, o que temos aqui é uma divisão normal entre dois polinômios, no qual o grau do polinômio do numerador é menor do que o grau do polinômio do denominador. Assim como solicitado, vamos decompor essa divisão em frações parciais, beleza? Show! Como o grau da variável no denominador é e o grau de todo o polinômio no denominador é , então teremos:
Ok, até aqui tudo certo, né? Então bora continuar!
Passo 2
O que temos que fazer agora é multiplicar os dois lados da igualdade pelo denominador, se liga:
Simplificando, teremos:
E a partir disso o processo seria comparar os graus dos polinômios em ambos os lados da igualdade para estabelecer um sisteminha de equações, a fim de encontrar as constantes , , e .
As implicações dessa decomposição para a nossa integral é que, uma vez encontrado os valores das constantes, todas as 4 integrais serão resolvidas por substituições simples! Esse é o motivo de utilizarmos frações parciais quando encontramos uma divisão de polinômios.
E essa é a nossa análise da questão, galera! 😉
Resposta
Forma geral:
Implicações explicadas no passo 2.