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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 16

Calcule a integral indefinida

int (d s)/(sqrt(2 s - s^2))

Passo 1

int (d s)/(sqrt(2 s - s^2))

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a^2

Ou

a^2 - 1

Como o termo s^2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a^2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

2 s - s^2

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

2 s - s^2 = - (s^2 - 2 s)

Vamos olhar so p s^2 - 2 s , ele deve ficar parecido com a^2 - 2 a b + b^2 .

a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2

Comaprando, teremos

a = s

b = 1

Agora, temos que somar e subtrair - b^2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

- (s^2 - 2 s) = 1 - (s^2 - 2 s + 1)

Organizando

1 - (s^2 - 2 s + 1) = 1 - (s - 1)^2

A nossa integral fica:

int (d s)/(sqrt(2 s - s^2)) = int (d s)/(sqrt(1 - (s - 1)^2))

Passo 2

int (d s)/(sqrt(1 - (s - 1)^2))

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

sqrt(x^2 - 1)

sqrt(1 - x^2)

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

s - 1 = x -> d s = d x

Substituindo na integral:

int (d s)/(sqrt(1 - (s - 1)^2)) = int (d x)/(sqrt(1 - x^2))

Essa é integra é sen^(- 1) x , então vamos ter:

int (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = sen^(- 1) x + C

Voltando para s

sen^(- 1) x + C = sen^(- 1) (s - 1) + C

Resposta

sen^(- 1) (s - 1) + C

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Para m e n inteiros positivos, mostre que a fórmula dada é verdadeira. ∫ - 1 1 sen ⁡ n π x sen ⁡ ( m π x ) d x = 0 s e m ≠ n 1 s e m = n
Se n for um inteiro positivo ímpar, prove queint_0^(pi) cos^n x d x = 0