Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 35
Se for um inteiro positivo ímpar, prove que
Passo 1
Já que temos uma integral definida, vamos dar uma manipulada para ver o que acontece.
A primeira coisa a se fazer é trocar por , já que é ímpar e positivo, é um número ímpar positivo para todo . Sendo assim,
Agora vou separar em duas potências e usar a propriedade .
Por fim, vou usar a relação .
Agora apareceu e . Isso indica uma substituição.
Passo 2
Seja então a substituição:
E derivando temos:
Que é uma expressão que aparece na integral. Antes de trocar a variável da integral, vamos ver os limites de integração nessa nova variável.
Pronto! Agora já podemos trocar a variável.
Passo 3
De acordo com essa troca de variável, temos a seguinte igualdade.
Mas a integral da direita é . Lembre-se que:
Concluímos então que:
Ou seja,
Como queríamos demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)