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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 16

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(sqrt(4 x - x^2))

Passo 1

Pessoal, essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, mas, antes, devemos completar o quadrado dentro da raiz, vejamos como.

4 x - x^2 = underset((x - 2)^2)(- ubrace ( x^2 - 4 x + 4 )) + 4 = 4 - (x - 2)^2

Com isso, a integral fica:

int (d x)/(sqrt(4 - (x - 2)^2))

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos a^2 - (x - 2)^2 no denominador, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x - 2 = 2 sen theta . Façamos então a substituição:

[[x,-,2,=,2,sen theta],[d,x,=,2,cos theta,d,theta]]

Dessa forma, - (x - 2)^2 = - 4 sen^2 theta -> 4 - (x - 2)^2 = 4 - 4 sen^2 theta = 4 (1 - sen^2 theta) = 4 cos^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

int (d x)/(sqrt(4 - (x - 2)^2)) = int (2 cos theta d theta)/(sqrt(4 cos^2 theta)) = = int (2 cos theta d theta)/(2 cos theta) = int d theta = theta + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x - 2 = 2 sen theta , temos sen theta = (x - 2)/(2) -> theta = sen^(- 1) ((x - 2)/(2)) .

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d x)/(sqrt(4 - (x - 2)^2)) = sen^(- 1) ((x - 2)/(2)) + C

Resposta

int (d x)/(sqrt(4 x - x^2)) = sen^(- 1) ((x - 2)/(2)) + C

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