1-26. Calcule a integral.23. int_(sqrt(2))^2 (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 1))

int_(sqrt(2))^2 (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 1)) = ((sqrt(3) - sqrt(2)))/(2)

Enunciado

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

Comparando a raíz da nossa integral, que é com a raíz acima, teremos que:

Logo:

E disso tiramos que:

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

Mas o que seria esse (? Da trigonometria temos o seguinte:

Então:

Simplificando, teremos:

Que é uma integral bastaaante simples e já conhecida, não é mesmo? Seu resultado é:

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de e queremos em termos de . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

Substituindo no nosso resultado, teremos:

Aplicando os intervalos de integração:

E esse é o nosso resultado, galera!