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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 20

1-26. Calcule a integral.

20. int (cos theta)/(sqrt(2 - s e n^2 theta)) d theta

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição simples:

u = s e n theta

Disso podemos tirar que:

d u = cos theta d theta

Substituindo na integral, teremos:

int (cos theta)/(sqrt(2 - s e n^2 theta)) d theta = int (d u)/(sqrt(2 - u^2))

Ok, até aqui só fizemos a substituição simples, nada demais, galera!

Passo 2

A nossa substituição simples resultou em um tipo de integral bem conhecido! O nosso denominador é do tipo:

sqrt(a^2 - x^2)

Quando isso ocorre, temos que o resultado já é conhecido e tabelado! O resultado dessa integral é:

int (d u)/(sqrt(2 - u^2)) = a r c s e n ((u)/(a)) + C

Mas quem seria a ? Comparando a raíz que aparece na nossa integral com sqrt(a^2 - x^2) , teremos:

a^2 = 2

:. a = sqrt(2)

Substituindo a e u no nosso resultado, teremos:

int (cos theta)/(sqrt(2 - s e n^2 theta)) d theta = a r c s e n ((s e n theta)/(sqrt(2))) + C

E está aí o resultado da nossa integral, pessoal!

Resposta

int (cos theta)/(sqrt(2 - s e n^2 theta)) d theta = a r c s e n ((s e n theta)/(sqrt(2))) + C

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