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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 29

Questão 29) Calcule a integral definida:

int_0^1 s e n^2 pi t . c o s ² pi t d t

Passo 1

Se usarmos a identidade s e n x . c o s x = (1)/(2) s e n 2 x vai simplificar e muito o problema, veja

s e n^2 pi t . c o s^2^() pi t = (s e n pi t . c o s pi t)^2 = (1)/(2) s e n 2 pi t

Substituindo no integrando e usando a identidade s e n^2 x + c o s^2 x = 1 , temos

Passo 2

int_()^() s e n^2 pi t . c o s ² pi t d t = (1)/(4) int s e n ² 2 pi t d t = (1)/(4) int (1 - c o s 2 pi t)/(2) d t

= (1)/(8) ( t - (s e n 2 pi t)/(2 pi) )

Passo 3

Aplicando os intervalos, temos

int_0^1 s e n^2 pi t . c o s ² pi t d t = (1)/(8) ( t - (s e n 2 pi t)/(2 pi) )_0^1

int_0^1 s e n^2 pi t . c o s ² pi t d t = (1)/(8)

Resposta

int_0^1 s e n^2 pi t . c o s ² pi t d t = (1)/(8)

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