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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 26

1-26. Calcule a integral.

26. int_0^3 (x^3)/((3 + x^2)^((5)/(2))) d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . tan theta

Pois o termo que aparece para nós é do tipo:

a^2 + x^2

Comparando nosso termo, que é 3 + x^2 com o termo acima, teremos:

a = sqrt(3)

Ademais:

x = sqrt(3) . tan theta

x^3 = 3 sqrt(3) tan^3 theta

E disso tiramos que:

d x = sqrt(3) . sec^2 theta d theta

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

int_0^3 (x^3)/((3 + x^2)^((5)/(2))) d x = int_0^3 (3 sqrt(3) tan^3 theta)/((3 + (sqrt(3) . tan theta)^2)^((5)/(2))) sqrt(3) . sec^2 theta d theta

Simplificando isso aí, teremos:

int_0^3 (3 sqrt(3) tan^3 theta)/((3 + (sqrt(3) . tan theta)^2)^((5)/(2))) sqrt(3) . sec^2 theta d theta = 9 int_0^3 (tan^3 theta)/((3 sec^2 theta)^((5)/(2))) sec^2 theta d theta

Aqui vale ressaltar que utilizamos a relação da trigonometria (1 + tan^2 theta = sec^2 theta) , beleza? Continuando, teremos:

9 int_0^3 (tan^3 theta)/((3 sec^2 theta)^((5)/(2))) sec^2 theta d theta = (sqrt(3))/(3) int_0^3 (tan^3 theta)/(sec^3 theta) d theta

(sqrt(3))/(3) int_0^3 (tan^3 theta)/(sec^3 theta) d theta = (sqrt(3))/(3) int_0^3 sin^3 theta d theta

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Passo 3

Utilizando a relação fundamental da trigonometria, ou seja, 1 = c o s^2 x + s e n^2 x , teremos:

(sqrt(3))/(3) int_0^3 (1 - cos^2 theta) s e n theta d theta

Chamando u = cos theta , teremos que:

d u = - sen theta d theta

Substituindo na nossa integral:

(sqrt(3))/(3) int_0^3 (1 - cos^2 theta) s e n theta d theta = - (sqrt(3))/(3) int_0^3 (1 - u^2) d u

Resolvendo isso, teremos:

- (sqrt(3))/(3) int_0^3 (1 - u^2) d u = - (sqrt(3))/(3) [u - (u^3)/(3)] (3)/(0)

Voltando a variável theta :

- (sqrt(3))/(3) [u - (u^3)/(3)] (3)/(0) = - (sqrt(3))/(3) [cos theta - (cos^3 theta)/(3)] (3)/(0)

Passo 4

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de theta e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

cos theta = (sqrt(3))/(sqrt(3 + x^2))

Substituindo no nosso resultado, teremos:

- (sqrt(3))/(3) [cos theta - (cos^3 theta)/(3)] (3)/(0) = - (sqrt(3))/(3) [(sqrt(3))/(sqrt(3 + x^2)) - (((sqrt(3))/(sqrt(3 + x^2)))^3)/(3)] (3)/(0)

Aplicando os intervalos de integração:

- (sqrt(3))/(3) [(sqrt(3))/(sqrt(3 + x^2)) - (sqrt(3))/((sqrt(3 + x^2))^3)] (3)/(0) = (5 sqrt(3))/(72)

:. int_0^3 (x^3)/((3 + x^2)^((5)/(2))) d x = (5 sqrt(3))/(72)

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

int_0^3 (x^3)/((3 + x^2)^((5)/(2))) d x = (5 sqrt(3))/(72)

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