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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 33b

  1. Use os métodos das secções anteriores (isto é, sem substituição trigonométrica) para calcular a integral:

∫ 5 x d x 3 - 2 x 2

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição simples. Percebam que há um polinômio de grau 2 dentro da raiz e um de grau 1 no numerador. Façamos então a substituição:

u = 3 - 2 x 2 d u = - 4 x d x   →       d u - 4 = x d x

Dessa forma, a integral na variável u será:

∫ 5 x d x 3 - 2 x 2 = 5 ∫ d u - 4 u = - 5 4 ∫ d u u = - 5 4 ∫ u - 1 2 d u

Passo 2

Agora nós vamos utilizar a integral ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 .

- 5 4 ∫ u - 1 2 d u = - 5 4 ⋅ u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = - 5 4 ⋅ u 1 2 1 2 + C = - 5 u 2 + C

Passo 3

O último passo é voltar na variável da integral que foi dada, que, no nosso caso, é a variável x . Ficamos então com:

∫ 5 x d x 3 - 2 x 2 = - 5 u 2 + C = - 5 3 - 2 x 2 2 + C

Resposta

∫ 5 x d x 3 - 2 x 2 = - 5 3 - 2 x 2 2 + C

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