Calcule a integral indefinida.

∫ 1 4 x x 2 - 16   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Essa integral vai envolver o arco secante, mas antes de usarmos isso vamos fazer a substituição x = 4 t com d x = 4   d t :

I = ∫ 1 4 x x 2 - 16   d x = 1 4 ∫ 1 4 t   16 t 2 - 16 ⋅ 4   d t

Assim,

I = 1 4 ∫ 1 t   16 t 2 - 1   d t = 1 16 ∫ 1 t   t 2 - 1   d t

Passo 2

Mas essa integral que sobrou resulta em arcsec ⁡ t :

I = 1 16 arcsec ⁡ t + C

Mas sabemos que t = x / 4 :

I = 1 16 arcsec ⁡ x 4 + C

Resposta

1 16 arcsec ⁡ x 4 + C

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