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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 7

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(4 x sqrt(x^2 - 16)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Essa integral vai envolver o arco secante, mas antes de usarmos isso vamos fazer a substituição x = 4 t com d x = 4 d t :

I = int (1)/(4 x sqrt(x^2 - 16)) d x = (1)/(4) int (1)/(4 t sqrt(16 t^2 - 16)) * 4 d t

Assim,

I = (1)/(4) int (1)/(t sqrt(16 (t^2 - 1))) d t = (1)/(16) int (1)/(t sqrt(t^2 - 1)) d t

Passo 2

Mas essa integral que sobrou resulta em arcsec t :

I = (1)/(16) arcsec t + C

Mas sabemos que t = x // 4 :

I = (1)/(16) arcsec (x)/(4) + C

Resposta

(1)/(16) arcsec (x)/(4) + C

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