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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 26

Calcule a integral

int_0^((pi)/(4)) sec^4 ( theta ) tan^4 ( theta ) d theta

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

int_0^((pi)/(4)) sec^4 ( theta ) tan^4 ( theta ) d theta = int_0^((pi)/(4)) sec^2 ( theta ) * sec^2 (theta) tan^4 (theta) d theta

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( t ) + 1 = sec^2 ( t )

Então, substituindo

int_0^((pi)/(4)) sec^2 ( theta ) * sec^2 (theta) tan^4 (theta) d theta = int_0^((pi)/(4)) ( tan^2 (theta) + 1 ) * tan^4 (theta) * sec^2 (theta) d theta

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = tan (theta) , então d u = sec^2 ( theta ) d theta . Vamos também mudar o limite de integração pra não precisarmos retornar com a variável depois, basta resolvermos assim

u_i n f e r i o r = tan (0) = 0

u_s u p e r i o r = t a n ( pi // 4 ) = 1

Então, basta integrarmos u de 0 até 1

int_0^1 (u^2 + 1) u^4 d u = int_0^1 (u^6 + u^4) d u = [(1)/(7) u^7 + (1)/(5) u^5]_0^1 = (1)/(7) + (1)/(5) = (12)/(35)

Resposta

int_0^((pi)/(4)) sec^4 ( theta ) tan^4 ( theta ) d theta = (12)/(35)

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Nos Exercícios de 26 a 34, calcule a integral definida. 3 3 )∫ 1 e d x x [ 1 + ( ln ⁡ x ) ² ] ²
Ache a área da região limitada pelo eixo x, pela curva y = 1 5 - 4 x - x ² ² e pelas retas x = - 7 2ex = - 1 2 .
Ache a área da região limitada pela curva y = 8 x ² + 4 , ² pelo eixo x , pelo eixo y e pela reta x = 2 .
Nos Exercícios de 26 a 34, calcule a integral definida. 32 )∫ 1 2 1 d x x 4 x ² - 1 ²
Ache a área da região limitada pela curva x ² = 4 a yey = 8 a 3 x ² + 4 a ² . ² ² ²