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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 20

Calcule a integral

int (t)/(sqrt(25 - t^2)) d t

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

t = 5 sin (theta)

Diferenciando, temos que

d t = 5 cos (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

int (t)/(sqrt(25 - t^2)) d t = int (5 sin (theta))/(sqrt(25 - 25 sin^2 (theta))) 5 cos (theta) d theta = 25 int (sin (theta) cos (theta))/(sqrt(25 (1 - sin^2 (theta)))) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin^2 ( theta ) + cos^2 (theta) = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

25 int (sin (theta) cos (theta))/(sqrt(25 (1 - sin^2 (theta)))) d theta = 25 int (sin (theta) cos (theta))/(sqrt(25 * cos^2 (theta))) d theta = 25 int (sin (theta) cos (theta))/(5 cos (theta)) d theta = 5 int sin (theta) d theta = - 5 cos (theta) + c

Passo 2

Agora que já resolvemos a integral, precisamos encontrar uma expressão para cos (theta) em função de t , lembra que dissemos

t = 5 sin (theta)

Da resolução da integral, vimos que

sqrt(25 - t^2) = 5 cos (theta)

Então,

cos (theta) = (sqrt(25 - t^2))/(5)

Agora, podemos substituir

- 5 cos (theta) + c = - 5 * (sqrt(25 - t^2))/(5) + c = - sqrt(25 - t^2) + c

Resposta

int (t)/(sqrt(25 - t^2)) d t = - sqrt(25 - t^2) + c

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h) ∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ 4 x d x
e) ∫ s e n 2 ( x ) cos 4 ⁡ x d x
f) ∫ cos ⁡ x 1 + s e n 2 x d x
2. Seja f x uma função contínua. b) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f c o s ⁡ ( x ) ⋅ s e n x d x em - ∫ f u d u
a) ∫ cos ⁡ x s e n x 3 d x