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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 20

Calcule a integral indefinida.

int ((6 w^4 + 4 w^3 + 9 w^2 + 24 w + 32) d w)/((w^3 + 8) (w^2 + 3))

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos decompor mais o denominador. Podemos fatorar w^3 + 8 em ( w + 2 ) ( w^2 - 2 w + 4 ) . Essa é uma famosa fórmula de fatoração: a^3 + b^3 = ( a + b ) ( a^2 - a b + b^2 ) . Agora podemos tentar abrir a fração:

(6 w^4 + 4 w^3 + 9 w^2 + 24 w + 32)/((w + 2) ( w^2 - 2 w + 4 ) (w^2 + 3)) = (A)/(w + 2) + (B w + C)/(w^2 - 2 w + 4) + (D w + E)/(w^2 + 3)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B , C , D e E .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

(A)/(w + 2) + (B w + C)/(w^2 - 2 w + 4) + (D w + E)/(w^2 + 3) =

= (A (w^2 - 2 w + 4) (w^2 + 3) + (B w + C) (w + 2) (w^2 + 3) + (D w + E) (w + 2) (w^2 - 2 w + 4))/((w + 2) (w^2 - 2 w + 4) (w^2 + 3))

= (A w^4 - 2 A w^3 + 7 A w^2 - 6 A w + 12 A + (B w + C) (w^3 + 2 w^2 + 3 w + 6) + (D w + E) (w^3 + 8))/((w + 2) (w^2 - 2 w + 4) (w^2 + 3))

= ( A w^4 - 2 A w^3 + 7 A w^2 - 6 A w + 12 A + B w^4 + 2 B w^3 + 3 B w^2 + 6 B w + C w^3 + 2 C w^2 + 3 C w + 6 C + D w^4 + 8 D w + E w^3 + 8 E ) // (w + 2) (w^2 - 2 w + 4) (w^2 + 3)

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de w .

Passo 3

A nossa fração então fica:

( (A + B + D) w^4 + (- 2 A + 2 B + C + E) w^3 + (7 A + 3 B + 2 C) w^2 + (- 6 A + 6 B + 3 C + 8 D) w + (12 A + 6 C + 8 E) ) // (w + 2) (w^2 - 2 w + 4) (w^2 + 3)

Mas como essa expressão deve ser igual à fração original, cada valor que está multiplicado por uma potência de w deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 5 equações:

(1) A + B + D = 6

(2) - 2 A + 2 B + C + E = 4

(3) 7 A + 3 B + 2 C = 9

(4) - 6 A + 6 B + 3 C + 8 D = 24

(5) 12 A + 6 C + 8 E = 32

De ( 1 ) , tiramos que D = 6 - A - B . De ( 3 ) , tiramos que C = (9)/(2) - (7)/(2) A - (3)/(2) B . De (4) :

- 6 A + 6 B + 3 ((9)/(2) - (7)/(2) A - (3)/(2) B) + 8 (6 - A - B) = 24 => B = (75 - 49 A)/(13)

Então C = (- 54 + 28 A)/(13) e D = (3 + 36 A)/(13) . De (2): - 2 A + 2 B + C + E = 4 => E = (- 44 + 96 A)/(13) , e de (5) :

12 A + 6 * (- 54 + 28 A)/(13) + 8 * (- 44 + 96 A)/(13) = 32 => 156 A - 324 + 168 A - 352 + 768 A = 416 => 1092 A = 1092 => A = 1 => B = 2 , C = - 2 , D = 3 , E = 4 .

Passo 4

Agora já conseguimos separar a integral em frações parciais:

int ((6 w^4 + 4 w^3 + 9 w^2 + 24 w + 32) d w)/((w^3 + 8) (w^2 + 3)) = int ((1)/(w + 2) + (2 w - 2)/(w^2 - 2 w + 4) + (3 w + 4)/(w^2 + 3)) d w

= int (1)/(w + 2) d w + int (2 w - 2)/(w^2 - 2 w + 4) d w + int (3 w + 4)/(w^2 + 3) d w

= ln |w + 2| + int (d (w^2 - 2 w + 4))/(w^2 - 2 w + 4) + (3)/(2) int (2 w d w)/(w^2 + 3) + int (4)/(w^2 + 3) d w

= ln |w + 2| + ln |w^2 - 2 w + 4| + (3)/(2) ln |w^2 + 3| + 4 int (1)/(w^2 + 3) d w

Para a última integral, usamos a fórmula: int (d x)/(a^2 + x^2) = (1)/(a) arctan ((a)/(x)) + C :

int ((6 w^4 + 4 w^3 + 9 w^2 + 24 w + 32) d w)/((w^3 + 8) (w^2 + 3)) = ln |w + 2| + ln |w^2 - 2 w + 4| + (3)/(2) ln |w^2 + 3| + (4)/(sqrt(3)) arctan (w)/(sqrt(3))

Resposta

ln |w + 2| + ln |w^2 - 2 w + 4| + (3)/(2) ln |w^2 + 3| + (4)/(sqrt(3)) arctan (w)/(sqrt(3))

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