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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 23

Calcule a integral definida.

int_3^4 ((5 x^3 - 4 x) d x)/(x^4 - 16)

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos fatorar o denominador. Podemos fatorar pela fórmula da diferença de quadrados, duas vezes:

x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^4 + 4) (x^2 - 4) = (x^2 + 4) (x^2 - 2^2) = ( x^2 + 4 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

Agora podemos tentar abrir a fração:

(5 x^3 - 4 x)/(( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x^2 + 4 )) = (A)/(x - 2) + (B)/(x + 2) + (C x + D)/(x^2 + 4)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B , C e D .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

(A)/(x - 2) + (B)/(x + 2) + (C x + D)/(x^2 + 4) = (A (x + 2) (x^2 + 4) + B (x - 2) (x^2 + 4) + (C x + D) (x - 2) (x + 2))/((x - 2) (x + 2) (x^2 + 4))

= (A (x^3 + 2 x^2 + 4 x + 8) + B (x^3 - 2 x^2 + 4 x - 8) + C (x^3 - 4 x) + D (x^2 - 4))/((x - 2) (x + 2) (x^2 + 4))

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

((A + B + C) x^3 + (2 A - 2 B + D) x^2 + (4 A + 4 B - 4 C) x + ( 8 A - 8 B - 4 D ))/((x - 2) (x + 2) (x^2 + 4)) = (5 x^3 - 4 x)/(( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x^2 + 4 ))

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 4 equações:

  1. A + B + C = 5
  2. 2 A - 2 B + D = 0
  3. 4 A + 4 B - 4 C = - 4
  4. 8 A - 8 B - 4 D = 0

De (1) tiramos que C = 5 - A - B . Substituindo em (3): 4 A + 4 B - 4 (5 - A - B) = - 4 => 8 A + 8 B = 16 => B = 2 - A . Voltando então a (1) teremos C = 5 - A - 2 + A = 3 . De (2), tiramos que D = 2 B - 2 A = 4 - 2 A - 2 A = 4 - 4 A . Substituindo agora em (4): 8 A - 8 (2 - A) - 4 (4 - 4 A) = 0 => 8 A - 16 + 8 A - 16 + 16 A = 0 => 32 A = 32 => A = 1 . Então B = 1 e D = 0 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

(5 x^3 - 4 x)/(( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x^2 + 4 )) = (1)/(x - 2) + (1)/(x + 2) + (3 x)/(x^2 + 4)

Passo 4

Agora podemos integrar:

int_3^4 ((5 x^3 - 4 x) d x)/(x^4 - 16) = int (d x)/(x - 2) + int (d x)/(x + 2) + int (3 x d x)/(x^2 + 4)

= (ln (x - 2)|_3^(4 ) + (ln (x + 2)|_3^(4 ) + (3)/(2) (ln (x^2 + 4)|_3^(4 ) =

= ln 2 - ln 1 + ln 6 - ln 5 + (3)/(2) ln 20 - (3)/(2) ln 13

= ln 2 + ln 2 + ln 3 - ln 5 + 3 ln 2 + (3)/(2) ln 5 - (3)/(2) ln 13

= 5 ln 2 + ln 3 + (1)/(2) ln 5 - (3)/(2) ln 13

Resposta

5 ln 2 + ln 3 + (1)/(2) ln 5 - (3)/(2) ln 13

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