Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 36
36. Numa determinada cidade com população A, 20% dos habitantes ouviram pelo rádio a notícia de um escândalo político local. A taxa de disseminação da informação é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que a ouviram e ao número de pessoas que não a ouviram. Se após 1h 50% da população já sabe do escândalo, quanto tempo levará para que 80% da população tome conhecimento do fato?
Passo 1
A questão é bem parecida com a feita anteriormente, sendo assim pode ser seguida a mesma linha de pensamento utilizada na resolução da questão anterior.
Como trata-se de um enunciado bem grande, para resolver este tipo de problema devemos tirar todas as informações do enunciado e aplicar os conceitos de cálculo desenvolvidos até aqui para dar sequência na resolução da questão.
Passo 2
Como foi dito no enunciado da questão, a taxa com que se espalhou a informação é proporcional, sendo assim ela pode ser escrita como:
Passando tudo que depende de y para um lado e tudo que depende de t para o outro ficamos com:
Integrando ambos os lados da equação vem:
Passo 3
Agora precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no enunciado para descobrimos os valores das constantes C e k , deixando a expressão somente em função do tempo:
Logo a nossa expressão fica igual a :
Do enunciado também, temos que:
Logo a nossa expressão fica igual a :
Passo 4
Então, em 4h, 80% da população terá conhecimento do fato.