Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 43
43. Em qualquer instante, a taxa segundo a qual uma substância se dissolve é proporcional ao produto da quantidade presente em qualquer instante pela diferença entre a concentração da substância na solução naquele instante e a concentração da substância em uma solução saturada. Uma quantidade de material insolúvel é misturada com 40g de sal, inicialmente. O sal é dissolvido num tanque com 20 litros de água. Se 5g de sal dissolvem-se em 10min e se a concentração de sal numa solução saturada for de 3 g/L, qual a quantidade de sal dissolvido em 20min?
Passo 1
Esta questão é mais uma questão que pode ser resolvida utilizando o mesmo raciocínio de algumas questões anteriores desta mesma seção.
Como trata-se de um enunciado bem grande, para resolver este tipo de problema devemos tirar todas as informações do enunciado e aplicar os conceitos de cálculo desenvolvidos até aqui para dar sequência na resolução da questão.
Passo 2
Como foi dito no enunciado da questão, a taxa de com a qual uma substância se dissolve é proporcional... ,sendo assim ela pode ser escrita como:
Passando tudo que depende de y para um lado e tudo que depende de t para o outro ficamos com:
Integrando ambos os lados da equação vem:
Decompondo em frações parciais a expressão da direita, temos que ela equivale à:
Sendo assim, teremos:
Passo 3
Agora precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no enunciado para descobrimos os valores das constantes C e k , deixando a expressão somente em função do tempo:
Logo a nossa expressão fica igual a :
Do enunciado também, temos que:
Passo 4
Assim, podemos encontrar o que o enunciado nos pede: