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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 27

Calcule a integral indefinida

int 2^(3 x) + e^(3 x) d x

Passo 1

Oiii, estamos agora terminando nossos estudos em cálculo 1 e aprendendo integrações. Uma coisa bacana para a gente poder resolver esse exercício é lembra das seguintes regras de integração

int^() a + b d x -> int a d x + int b d x

Beleza? Bora cair dentro !!!

Passo 2

Nossa função é

int 2^(3 x) + e^(3 x) d x

Vamos começar com a exponencial. Como a derivada da exponencial é sempre ela mesma multiplicada por algum fator, para mim é mais tranquilo se pensarmos na integração da de uma exponencial como um processo de anti-derivação . Fazendo assim

(d)/(d x) e^(3 x) = 3 e^(3 x)

(1)/(3) (d)/(d x) e^(3 x) = e^(3 x)

Então eu sei que se eu derivar (1)/(3) e^(3 x) eu fico com e^(3 x) , isso me ajuda pensar no seguinte: A integral de e^(3 x) pode ser feita de um modo mais simples

(1)/(3) (d)/(d x) e^(3 x) = e^(3 x)

Se eu integrar agora em ambos os lados eu terei

(1)/(3) (d)/(d x) int e^(3 x) d x = int e^(3 x) d x

(1)/(3) e^(3 x) = int e^(3 x) d x

Sacou? Exponencial é sempre uma função cíclica. Então pensar na derivada dessa função muitas vezes ajuda.

Passo 3

Entao resolvemos parte do nosso problema.

int 2^(3 x) + e^(3 x) d x = (e^(3 x))/(3) + int 2^(3 x) d x

Agora só temos que integrar o outro fator. E para isso vamos usar a seguinte propriedade de exponencial

a^b = e^(b ln (a))

Isso quer dizer que

2^(3 x) = e^(3 x * l n 2)

Beleza!!! Agora sim podemos integrar

int 2^(3 x) d x = int e^(3 l n 2 * x) d x

Vamos fazer o mesmo processo que o passo anterior, vamos pensar na derivada de dessa função exponencial

(d)/(d x) e^(3 l n 2 * x) = e^(3 l n 2 * x) * 3 ln 2

Entao podemos fazer o seguinte jogo com fatores

(1)/(3 ln 2) (d)/(d x) e^(3 l n 2 * x) = e^(3 l n 2 * x)

E agora integramos

int (1)/(3 ln 2) (d)/(d x) e^(3 l n 2 * x) d x = int e^(3 l n 2 * x) d x

int e^(3 l n 2 * x) d x = (1)/(3 ln 2) e^(3 l n 2 * x)

Agora podemos voltar com os termos que tínhamos antes

e^(3 l n 2 * x) -> 2^(3 x)

Prontinho. Integramos \o/. Vamos unir os resultados

int 2^(3 x) + e^(3 x) d x = (1)/(3 l n 2) 2^(3 x) + (1)/(3) e^(3 x) + C

E como é uma integral indefinida temos que somar a uma constante arbitrária C.

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int 2^(3 x) + e^(3 x) d x = (1)/(3 l n 2) 2^(3 x) + (1)/(3) e^(3 x) + C

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