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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 36

Utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral.

∫ t g - 1 y   d y

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ t g - 1 y   d y

u = y   d u = 1 2 y   d y  

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ t g - 1 y   d y =   ∫ t g - 1 u   2 u   d u = 2 ∫ u   t g - 1 u     d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração dada por:

∫ x n t g - 1   a x   d x = x n + 1 n + 1   t g - 1 a x   - a n + 1 ∫ x n + 1 1 + a 2 x 2 d x + C

Assim:

2 ∫ u   t g - 1 u     d u =   2 ( u 2 2 t g - 1 u - 1 2 ∫ u 2 1 + u 2   d u ) =  

= 2 ( u 2 2 t g - 1 u - 1 2 ( ∫ - 1 u 2 + 1 d u + ∫ 1   d u ) )   =

= 2 u 2 2 t g - 1 u - 1 2 - t g - 1 u + u = u 2 t g - 1 u + t g - 1 u - u + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

u 2 t g - 1 u + t g - 1 u - u + C = y t g - 1 y + t g - 1 y - y + C

Resposta

y t g - 1 y + t g - 1 y - y + C

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