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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 6b

b) int (2 x + 3)/(x * ( x - 2 )) d x

Passo 1

Quando tivermos um polinômio fatorado no denominador, é interessante usar frações parciais!

I = int (2 x + 3)/(x * ( x - 2 )) d x

O nome pode ser complicado, mas a ideia é simples! Vamos quebrar o denominador em duas partes:

(2 x + 3)/(x * ( x - 2 )) = (A)/(x) + (B)/(x - 2)

Sacou?!

Passo 2

Agora vamos mexer com o lado direto:

(A)/(x) + (B)/(x - 2) = (A)/(x) * (x - 2)/(x - 2) + (B)/(x - 2) * (x)/(x)

Fazendo as distributivas:

(A x - 2 A + B x)/(x * ( x - 2 )) = ((A + B) x - 2 A)/(x * ( x - 2 ))

Assim,

(2 x + 3)/(x * ( x - 2 )) = ((A + B) x - 2 A)/(x * ( x - 2 ))

Agora é só comparar os coeficientes:

2 * x + 3 = (A + B) x - 2 A )

{[[A + B = 2 ( i )],[- 2 A = 3 ( i i )]])

De ( i i ) :

A = - (3)/(2)

Substituindo em ( i i ) :

- (3)/(2) + B = 2 -> B = (7)/(2)

Logo,

B = (7)/(2) e A = - (3)/(2)

Passo 3

Agora vamos resolver a integral!

Nossa integral era assim:

I = int (2 x + 3)/(x * ( x - 2 )) d x

E vai ficar assim:

I = int (- (3)/(2))/(x) d x + int ((7)/(2))/(x - 2) d x = - (3)/(2) * int (1)/(x) d x + (7)/(2) * int (1)/(x - 2) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

I = - (3)/(2) * ln |x| + (7)/(2) * ln |x - 2| + c

Resposta

- (3)/(2) * ln |x| + (7)/(2) * ln |x - 2| + c

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