e) ∫ x x + 1 d x

Passo 1

Oi, galerinha! Nessa integral vamos fazer uma substituição simples e depois dar uma mexida na função para conseguir integrar, ok?!

Primeiro vamos fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com o denominador!

I = ∫ x x + 1 d x

A substituição é a seguinte:

u = x + 1

Derivando,

d u = d x

Então nossa integral fica assim

I = ∫ u - 1 u d u

Note que ainda não conseguimos resolver, então vamos mexer nela.

Passo 2

O grande lance aqui é separar a nossa subtração,

u - 1 u = u u - 1 u = 1 - 1 u

Então a nossa integral fica assim,

I = ∫ u - 1 u d u = ∫ 1 - 1 u d u = ∫ d u - ∫ 1 u d u

Agora vamos resolver cada uma individualmente!

I 1 = ∫ d u = u + c 1

I 2 = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + c 2

Passo 3

Voltando para variável x , vamos lembrar que u = x + 1 , então

I 1 = x + 1 + c 1

I 2 = ln ⁡ x + 1 + c 2

Agora é só juntar as duas integrais!

I = x + 1 + c 1 - ln ⁡ x + 1 + c 2

Além disso, podemos juntar as duas constantes e o 1!

I = x - ln ⁡ x + 1 + c

Onde, c é a nossa constante de integração.

Resposta

x - ln ⁡ x + 1 + c

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