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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 4e

e) int (x)/(x + 1) d x

Passo 1

Oi, galerinha! Nessa integral vamos fazer uma substituição simples e depois dar uma mexida na função para conseguir integrar, ok?!

Primeiro vamos fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com o denominador!

I = int (x)/(x + 1) d x

A substituição é a seguinte:

u = x + 1

Derivando,

d u = d x

Então nossa integral fica assim

I = int (u - 1)/(u) d u

Note que ainda não conseguimos resolver, então vamos mexer nela.

Passo 2

O grande lance aqui é separar a nossa subtração,

(u - 1)/(u) = (u)/(u) - (1)/(u) = 1 - (1)/(u)

Então a nossa integral fica assim,

I = int (u - 1)/(u) d u = int 1 - (1)/(u) d u = int d u - int (1)/(u) d u

Agora vamos resolver cada uma individualmente!

I_1 = int d u = u + c_1

I_2 = int (1)/(u) d u = ln |u| + c_2

Passo 3

Voltando para variável x , vamos lembrar que u = x + 1 , então

I_1 = (x + 1) + c_1

I_2 = ln |(x + 1)| + c_2

Agora é só juntar as duas integrais!

I = (x + 1) + c_1 - ln |(x + 1)| + c_2

Além disso, podemos juntar as duas constantes e o 1!

I = x - ln |x + 1| + c

Onde, c é a nossa constante de integração.

Resposta

x - ln |x + 1| + c

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