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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 6e

6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

e ) int (5 x + 3)/(x^2 - 3 x + 2) d x

Passo 1

Vemos que a função na nossa integral não é parecida com a fórmula do exercício 5. Logo, para melhorar vamos usar o conceito que diz que se alpha e beta são raízes da equação a x^2 + b x + c = 0 , então a x^2 + b x + c = a ( x - alpha ) ( x - beta ) . Ou seja, descobrindo as raízes da equação no denominador, podemos fatorar o mesmo. Nesse caso, por meio de Bhaskara, obtemos as raízes x = 1 e x = 2 . Dessa forma,

int (5 x + 3)/(x^2 - 3 x + 2) d x = int (5 x + 3)/(( x - 2 ) ( x - 1 )) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(x - alpha) + (B)/(x - beta) .

(5 x + 3)/(( x - 2 ) ( x - 1 )) = (A)/(x - 2) + (B)/(x - 1)

Faremos com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

(5 x + 3)/(( x - 2 ) ( x - 1 )) = (A)/(x - 2) (( x - 1 ))/(( x - 1 )) + (B)/(x - 1) (( x - 2 ))/(( x - 2 ))

(5 x + 3)/(( x - 2 ) ( x - 1 )) = (A ( x - 1 ))/(( x - 2 ) ( x - 1 )) + (B ( x - 2 ))/(( x - 1 ) ( x - 2 ))

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo termo, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x - 1 ) . Assim,

5 x + 3 = A (x - 1) + B (x - 2)

5 x + 3 = x A - A + x B - 2 B

5 x + 3 = (A + B) x + ( - A - 2 B )

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 5 e, como o termo independente é 3 , n = 3 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = ( - A - 2 B ) . Então, montando o sistema:

{[[A + B = 5],[( - A - 2 B ) = 3]])

=> A + B = 5 => A = 5 - B (1)

=> (- A - 2 B) = 3 => A = - 3 - 2 B (2)

Igualando (1) e (2)

=> 5 - B = - 3 - 2 B => 2 B - B = - 3 - 5 => B = - 8

Colocando o valor de B em qualquer uma das equações, obtemos

A = 13

Logo,

(5 x + 3)/((x - 2) (x - 1)) = (A)/(x - 2) + (B)/(x - 1)

(5 x + 3)/(( x - 2 ) ( x - 1 )) = (13)/(x - 2) - (8)/(x - 1)

Passo 3

Substituindo na integral

int (5 x + 3)/(( x - 2 ) ( x - 1 )) d x = int ((13)/((x - 2)) - (8)/((x - 1))) d x = int (13)/((x - 2)) d x - int (8)/((x - 1)) d x

Para a primeira integral, fazendo u = x - 2 => d u = d x

int (13)/((x - 2)) d x = 13 int (1)/((x - 2)) d x = 13 int (1)/(u) d u = 13 ln |u| + k = 13 ln |x - 2| + k

Para a segunda integral, fazendo u = x - 1 => d u = d x

int (8)/((x - 1)) d x = 8 int (1)/((x - 1)) d x = 8 int (1)/(u) d u = 8 ln |u| + k = 8 ln |x - 1| + k

Portanto,

int (13)/((x - 2)) d x - int (8)/((x - 1)) d x = 13 ln |x - 2| - 8 ln |x - 1| + k

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

int (5 x + 3)/(x^2 - 3 x + 2) d x = 13 ln |x - 2| - 8 ln |x - 1| + k

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