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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 18

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(x sqrt(x^4 - 4))

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é uma manipulação para transformar em algo que nós conhecemos ou que pareça mais simples do que o formato inicial. Vejam só:

int (d x)/(x sqrt(x^4 - 4)) = int (x d x)/(x^2 sqrt(x^4 - 4)) = int (x d x)/(x^2 sqrt(( x^2 )^2 - 4))

Viu o que eu fiz? Apareceu x^2 e no numerador x . Vamos efetuar a substituição x^2 = u , derivando nós ficamos com 2 x d x = d u -> x d x = (d u)/(2) . Vamos trocar a variável:

int (x d x)/(x^2 sqrt(( x^2 )^2 - 4)) = int (((d u)/(2)))/(u sqrt(u^2 - 4)) = (1)/(2) int (d u)/(u sqrt(u^2 - 4))

Opa! Virou uma integral que é resolvida pelo método da substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos u^2 - 4 = u^2 - 2^2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = 2 sec theta .

Passo 3

Façamos então a substituição:

[[u,=,2,sec theta],[d,u,=,2,sec theta,tan theta,d,theta]]

Dessa forma, u^2 = 4 sec^2 theta -> u^2 - 4 = 4 sec^2 theta - 4 = 4 overset(tan^2 theta)(obrace (sec^2 theta - 1)) = 4 tan^2 theta .

Passo 4

Agora vamos trocar a variável da integral e resolver utilizando.

(1)/(2) int (d u)/(u sqrt(u^2 - 4)) = (1)/(2) int (2 sec theta tan theta d theta)/(2 sec theta sqrt(4 tan^2 theta)) = (2)/(2 * 2 * 2) int (tan theta d theta)/(tan theta) = (1)/(4) int d theta = (theta)/(4) + C

Já podemos voltar na variável u . Olhando o quadrinho do começo para a substituição com sec e usando relações trigonométricas da tangente, temos:

tan theta = (sqrt(u^2 - a^2))/(a) = (sqrt(u^2 - 4))/(2) -> theta = tan^(- 1) ((sqrt(u^2 - 4))/(2))

Sendo assim,

(1)/(2) int (d u)/(u sqrt(u^2 - 4)) = (theta)/(4) + C = (tan^(- 1) ((sqrt(u^2 - 4))/(2)))/(4) + C

Passo 5

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x^2 = u , então:

int (d x)/(x sqrt(x^4 - 4)) = (tan^(- 1) ((sqrt(u^2 - 4))/(2)))/(4) + C = (tan^(- 1) ((sqrt(x^4 - 4))/(2)))/(4) + C

Resposta

int (d x)/(x sqrt(x^4 - 4)) = (tan^(- 1) ((sqrt(x^4 - 4))/(2)))/(4) + C

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