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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 20

Calcule a integral indefinida:

int (e^(- x) d x)/((9 e^(- 2 x) + 1)^((3)/(2)))

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, porém, antes devemos fazer uma substituição simples. Seja u = 3 e^(- x) -> d u = - 3 e^(- x) d x e (d u)/(- 3) = e^(- x) d x , então:

int (e^(- x) d x)/((9 e^(- 2 x) + 1)^((3)/(2))) = int (e^(- x) d x)/((( 3 e^(- x) )^2 + 1)^((3)/(2))) = int (((d u)/(- 3)))/((( u )^2 + 1)^((3)/(2))) = - (1)/(3) int (d u)/((u^2 + 1)^((3)/(2)))

Agora podemos utilizar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos (u)^2 + 1 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = tan theta . Façamos então a substituição:

[[u,=,tan theta],[d,u,=,sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, (u)^2 = tan^2 theta -> (u)^2 + 1 = tan^2 theta + 1 = sec^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

- (1)/(3) int (d u)/((u^2 + 1)^((3)/(2))) = - (1)/(3) int (sec^2 theta d theta)/((sec^2 theta)^((3)/(2))) = - (1)/(3) int (sec^2 theta d theta)/(sec^3 theta) = - (1)/(3) int (d theta)/(sec theta) = - (1)/(3) int cos theta d theta

- (1)/(3) int cos theta d theta = - (1)/(3) sen theta + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = tan theta , para achar sen theta nós olhamos o triângulo da substituição com t a n construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (u)/(sqrt(a^2 + u^2)) -> sen theta = (u)/(sqrt(1 + u^2))

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando u , então basta trocar. Dessa forma,

int (e^(- x) d x)/((9 e^(- 2 x) + 1)^((3)/(2))) = - (1)/(3) sen theta + C = - (1)/(3) (u)/(sqrt(1 + u^2)) + C

Também fizemos a substituição u = 3 e^(- x) , logo, o resultado será:

int (e^(- x) d x)/((9 e^(- 2 x) + 1)^((3)/(2))) = - (1)/(3) (3 e^(- x))/(sqrt(1 + ( 3 e^(- x) )^2)) + C = - (1)/(3) (3 e^(- x))/(sqrt(9 e^(- 2 x) + 1)) + C

Resposta

int (e^(- x) d x)/((9 e^(- 2 x) + 1)^((3)/(2))) = - (e^(- x))/(sqrt(9 e^(- 2 x) + 1)) + C

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