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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 21

1-26. Calcule a integral.

21. int_0^1 5 x^3 sqrt(1 - x^2) d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . s e n theta

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

sqrt(a^2 - x ²)

Comparando a raíz da nossa integral, que é sqrt(1 - x^2) com a raíz acima, teremos que:

x = 1 . s e n theta

Ademais:

x^3 = s e n ³ theta

E disso tiramos:

d x = cos theta d theta

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

int_0^1 5 x^3 sqrt(1 - x^2) d x = 5 int_0^1 s e n ³ theta sqrt(1 - s e n ² theta) cos theta d theta

Mas o que seria (1 - s e n^2 theta) ? Pela relação fundamental da trigonometria:

c o s^2 theta = 1 - s e n^2 theta

Então:

5 int_0^1 s e n ³ theta sqrt(1 - s e n ² theta) cos theta d theta = 5 int_0^1 s e n ³ theta cos^2 theta d theta

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Passo 3

Para a nossa nova integral vamos utilizar novamente a relação fundamental da trigonometria, se liga:

5 int_0^1 s e n ³ theta cos^2 theta d theta = 5 int_0^1 (1 - c o s^2 theta) cos^2 theta s e n theta d theta

5 int_0^1 (1 - c o s^2 theta) cos^2 theta s e n theta d theta = 5 int_0^1 (cos^2 theta s e n theta - cos^4 theta s e n theta) d theta

Fazendo:

u = cos theta

Tiramos que:

d u = - s e n theta d theta

Logo:

5 int_0^1 (cos^2 theta s e n theta - cos^4 theta s e n theta) d theta = 5 int_0^1 (- u^2 + u^4) d u

Resolvendo:

5 int_0^1 (- u^2 + u^4) d u = 5 [(u^5)/(5) - (u^3)/(3)] (1)/(0)

5 [(u^5)/(5) - (u^3)/(3)] (1)/(0) = 5 [(cos^5 theta)/(5) - (cos^3 theta)/(3)] (1)/(0)

Passo 4

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de theta e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

cos theta = (sqrt(1 - x^2))/(1) = sqrt(1 - x^2)

Substituindo no nosso resultado, teremos:

5 [(cos^5 theta)/(5) - (cos^3 theta)/(3)] (1)/(0) = [(sqrt(1 - x^2))^5 - (5)/(3) (sqrt(1 - x^2))^3] (1)/(0)

Aplicando os intervalos de integração:

[(sqrt(1 - x^2))^5 - (5)/(3) (sqrt(1 - x^2))^3] (1)/(0) = (2)/(3)

:. int_0^1 5 x^3 sqrt(1 - x^2) d x = (2)/(3)

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

int_0^1 5 x^3 sqrt(1 - x^2) d x = (2)/(3)

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2. Seja f x uma função contínua. b) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f c o s ⁡ ( x ) ⋅ s e n x d x em - ∫ f u d u
a) int cos (x) root(3)(s e n (x)) d x
2. Seja f x uma função contínua. a) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f s e n x ⋅ cos ⁡ x d x em ∫ f u d u
e) int (cos^3 ( x ))/(s e n^7 ( x )) d x
c) int (s e n (x))/(c o s^5 (x)) d x