Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 42
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Essa questão pede pra gente calcular a integral
Perceba que essa não é uma integração direta, já que temos uma multiplicação entre duas funções.
Quando isso acontecer, podemos verificar se é possível usar a regra da Substituição Simples. Para isso, vemos se ao derivarmos uma das funções, encontraremos algo semelhante ao que temos na outra função.
E é exatamente o que acontecerá aqui. Sendo assim, faremos uma mudança de variáveis.
Mas fica tranquilo que vou te mostrar tudinho no passo a passo. Só vem comigo.
Passo 2
Queremos integrar
Essa integral parece bem feia, mas com a substituição certa ela sai em duas linhas!!! Já que a derivada do cosseno é menos seno, vamos tentar a substituição
Fazendo a derivada de , teremos:
Assim, como
E substituindo essas informações na integral podemos escrevê-la como:
Show.
Agora, lembrando que a derivada da tangente é a secante, temos que a primitiva de é . Assim:
Mas calma que não acabou não.
Passo 3
Voltando a variável original, devemos lembrar que fizemos:
Então podemos dizer que:
E prontinho, nossa integral está calculada com sucesso.