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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 45

Calcule a integral indefinida.

∫ x x + 2 4   d x

Passo 1

Fala aí, belezinha??

Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ x x + 2 4   d x

Perceba que essa não é uma integração direta, já que temos uma divisão entre duas funções.

Quando isso acontecer, podemos verificar se é possível usar a regra da Substituição Simples. Para isso, vemos se ao derivarmos uma das funções, encontraremos algo semelhante ao que temos na outra função.

E é exatamente o que acontecerá aqui. Sendo assim, fazemos uma mudança de variáveis.

Mas fica tranquilo que vou te mostrar tudinho no passo a passo. Só vem comigo.

Passo 2

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Bom, para resolvermos essa integral vamos ter que simplificar o denominador de modo que dê para escrevê-la como uma integral de potências de uma nova variável u .

Para isso, vamos fazer a substituição

u = x + 2

Assim, a deurivada de u será:

d u = d x

e podemos dizer que

x = u - 2

Maravilha.

Passo 3

Agora vamos reescrever nossa integral fazendo a mudança de variável.

∫ x x + 2 4   d x = ∫ u - 2 u 4   d u

Perceba que podemos separar essa integral em duas, e escrever a raiz em forma de potência de expoente fracionário. Assim:

∫ u - 2 u 4   d u = ∫ u u 4 - 2 u 4   d u  

∫ u u 1 / 4 - 2 u 1 / 4   d u = ∫ u 3 / 4 - 2 u - 1 / 4 d u

Agora vamos achar as primitivas da função, lembrando que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Calculando a integral:

∫ u 3 / 4 - 2 u - 1 / 4 d u = u 7 / 4 7 / 4 - 2 u 3 / 4 3 / 4 + C

Que pode ser escrita com:

4 7 u 7 / 4 - 8 3 u 3 / 4 + C

Mas calma que ainda precisamos voltar para a variável original.

Passo 4

Voltando a variável original, temos que lembrar que fizemos:

u = x + 2

Então:

∫ x x + 2 4   d x = 4 7 ( x + 2 ) 7 / 4 - 8 3 ( x + 2 ) 3 / 4 + C

E prontinho. Integral resolvida.

Resposta

4 7 ( x + 2 ) 7 / 4 - 8 3 ( x + 2 ) 3 / 4 + C

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