Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 65
Calcule a integral definida.
Passo 1
Pessoal nessa questão devemos calcular a seguinte integral:
E a técnica da substituição parece ser uma boa opção...
Como temos um fator dentro de uma raíz com mais de um termo, podemos usar a substituição para ficarmos com apenas um termo e facilitar a integração.
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.
Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.
Eu vou seguir por esse caminho aqui.
Passo 2
Vamos tentar escrever a integral como uma soma de potências, e para isso, devemos transformar o que está dentro da raíz em uma coisa só.
Para isso, vamos tomar
Assim
Além disso, para conseguir substituir o restante, faremos que:
Então:
Para os limites da integral, temos que quando:
E quando
Fazendo a substituição, teremos:
Escrevendo a raiz como uma potência, teremos:
Fazendo a integral, usando a regra da potência, temos:
Substituindo os limites de integração, temos: