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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 94

  1. Se f é contínua, mostre que

    2. ∫ 0 π / 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( sen ⁡ x ) d x

  2. Use a parte (a) para calcular ∫ 0 π / 2 c o s 2 x d x e ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ x d x .

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Na letra (a) temos que demonstrar que:

∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( sen ⁡ x ) d x

Se a gente reparar, a função sen ⁡ x e cos ⁡ x tem uma defasagem de π / 2 :

Essa curva de azul é cos ⁡ x   e a de vermelho é s e n ⁡ x . Então podemos usar a substituição:

Então podemos dizer que:

cos ⁡ x = sen ⁡ x + π 2

Isso significa que o valor de cos ⁡ x   é o mesmo que o valor de sen ⁡ x de um ângulo complementar a     π 2

Assim:

∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π 2 f s e n ⁡ x + π 2 d x

E para resolver essa integral temos que aplicar a regra da substituição:

Então temos que a regra deve ser realmente o inverso da regra da cadeia. De acordo com a regra da cadeia para a derivada temos:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Na integração por substituição, pegamos uma expressão da forma f ' g x ⋅ g ' ( x ) e encontramos sua primitiva.

A integração por substituição nos ajuda a simplificar uma expressão confusa, transformando a função "interna" na variável. Então temos que encontrar o resultado dessa integral:

∫ f ' g x ⋅ g ' ( x ) d x

Para simplificar essa integral, colocamos uma nova variável u tal que u = g ( x ) . Isso significa que d u = g ' ( x ) .

Também precisamos alterar os limites de integração, e para isso é só avaliar o valor de u para ambos os limites!

Substituindo essas expressões na integral, obtemos:

∫ f ' g x ⋅ g ' ( x ) d x = ∫ f ' ( u ) ⋅ d u

A integral agora é muito mais simples de resolver, pois f ' ( u ) é uma função direta de u . Após integrar em relação a u , obtemos f ( u ) .

Finalmente usamos o TFC (Teorema Fundamental do Cálculo) para avaliar os limites de integração, ou seja:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ah! Detalhe que vamos ter que aplicar a regra da substituição em ambas os itens, (a) e (b)!

Para o item (b) vamos precisar usar as seguintes identidades trigonométricas:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1

E a integral da função cosseno:

∫ cos ⁡ x   d x = sen ⁡ x + C

Passo 2

Vamos calcular a integral da esquerda para tentar chegar em:

∫ 0 π / 2 f ( sen ⁡ x ) d x

Assim provamos a igualdade do enunciado.

Vamos a nossa integral:

∫ 0 π / 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π / 2 f s e n ⁡ x + π 2 d x

Podemos fazer a substituição (lembra que ela tem que ser algo que facilite a nossa vida!), logo vamos chamar u de:

u = π 2 - x

Calculando a sua derivada, e isolando d u :

d u d x = - 1 → d u = - d x

Também precisamos alterar os limites de integração:

s u p e r i o r → x = π 2 →   u = π 2 - π 2 = 0

i n f e r i o r → x = 0 →   u = π 2 - 0 = π 2

Substituindo tudo na nossa nova integral:

∫ 0 π 2 f s e n ⁡ x + π 2 d x = ∫ 0 π 2 - f s e n ⁡ u d u

Vamos aplicar a propriedade que uma integral multiplicada por ( - 1 ) altera seus limites de integração:

∫ 0 π 2 - f s e n ⁡ u d u = - ∫ 0 π 2 f sen ⁡ u d u = ∫ π 2 0 f s e n ⁡ u d u

Podemos dizer que:

∫ π 2 0 f s e n ⁡ u d u = ∫ π 2 0 f s e n ⁡ x d x

Temos enfim:

∫ 0 π / 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( sen ⁡ x ) d x

Aweeee!!!

Passo 3

Agora a letra (b)! Devemos usar a parte (a) para calcular

∫ 0 π / 2 c o s 2 x d x

e

∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ x d x

Teremos que f x = x ² , então:

f cos ⁡ x = cos 2 ⁡ x

E

f sen ⁡ x = sen 2 ⁡ x

Vamos provar que as duas chegaram ao mesmo resultado, logo:

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sen ² ⁡ x d x

Vamos começar com a

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x

Podemos reescreva usando a identidade trigonométrica como:

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2 ⋅ d x

Primeiramente vamos aplicar a propriedade que a integral da soma é a soma das integrais:

∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2 ⋅ d x = ∫ 0 π 2 1 2 d x + ∫ 0 π 2 cos ⁡ ( 2 x ) 2 d x

A da esquerda é moleza, mas e a da direita? E como resolver essa nova integral? Substituição novamente!

Vamos chamar de u :

u = 2 x

Derivando para encontra o d u :

d u = 2 d x

Isolando d x :

d x = d u 2

Agora os limites de integração:

s u p e r i o r → x = π 2 →   u = 2 ⋅ π 2 = π

i n f e r i o r → x = 0 →   u = 2 ⋅ 0 = 0

Vamos montar nossas integrais:

∫ 0 π 2 1 2 d x + ∫ 0 π 2 cos ⁡ ( 2 x ) 2 d x = ∫ 0 π 2 1 2 d x + ∫ 0 π cos ⁡ ( u ) 2 ⋅ d u 2

Agora resolvendo separadamente:

∫ 0 π 2 1 2 d x

Para essa usamos a primitiva constante e avaliamos para os limites:

∫ 0 π 2 1 2 d x = 1 2 ⋅ x 0 π 2 = 1 2 ⋅ π 2 - 1 2 ⋅ 0 = π 4

Agora a segunda derivada, tirando o que é constante multiplicativa para fora para facilitar nossos cálculos:

1 4 ∫ 0 π cos ⁡ u ⋅ d u = 1 4 sen ⁡ u 0 π = 1 4 sen ⁡ π - 1 4 sen ⁡ 0 = 0

Juntando tudo até aqui:

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2 ⋅ d x = ∫ 0 π 2 1 2 d x + ∫ 0 π cos ⁡ ( u ) d u 4

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = π 4  

Agora precisamos fazer tudo isso para encontrar a do seno?? Nãaaao, ufaaa!

Vamos usar a seguinte propriedade:

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1

Vamos integrar toda essa expressão?

∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ x d x + ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 1 d x

A integral de 1 é a integral da constante:

∫ 0 π 2 1 d x = x 0 π 2 = π 2 - 0 = π 2

Também acabamos de calcular a integra da função cosseno ao quadrado, substituindo tudo o que temos:

π 4 + ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x d x = π 2

Isolando a integral:

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x d x = π 2 - π 4

∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ x d x = 2 π 4 - π 4 = π 4

Chegamos enfim:

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sen ² ⁡ x d x = π 4

Prontinho!

Resposta

  1. Demonstração

∫ 0 π 2 cos ² ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 sen ² ⁡ x d x = π 4

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